5.3诱导公式--【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师

    1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cos α－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.    例1化简下列各式．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式＝ （2）原式＝ 例2若角的终边上有一点，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）点到原点的距离为，根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.（2）原式，由（1）可得，，所以原式.例3已知.（1）化简； （2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）-2.【解析】（1);（2)由，可得.例4请完成下列小题:（1）若，求，的值；（2）化简：.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴是第二或第四象限角.由，可得 .当是第二象限角时， ，；当是第四象限角时， .（2）.例5已知，且是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：（1）求的值；（2）化简求值：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；若选③，；若选④，；（2）原式.例6已知是第四象限角，.（1）化简.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）．．（2）因为，所以．因为是第四象限角，所以，所以．     1．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C2．已知角的终边过点，若，则实数(  )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，且的终边过点，所以，解得，故选B．3．化简的结果为（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】原式.故选：A4．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，则（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点P，则.故选A.5．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B6．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为(　　)A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【解析】∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.7．下列化简正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】利用诱导公式，及 A选项：，故A正确；B选项：，故B正确；C选项：，故C不正确；D选项：，故D不正确故选：AB8．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】∵，∴，若，则.A中，，故A符合条件；B中，，故B不符合条件；C中，，即，又，所以，故C符合条件；D中，，即，又，所以，故D不符合条件.故选：AC.13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则________【答案】【解析】点在角的终边上，则.由三角函数的定义可得：又，故答案为：14．已知的终边在第三象限，且，则________【答案】【解析】的终边在第三象限，且，则，故答案为：15．已知，则______.【答案】；【解析】．故答案为：．16．    已知，则_____．【答案】【解析】因为，所以,又，所以，则＝,故答案为：．13．已知，且为第三象限角.（1）求，的值；（2）求值：【解析】（1），.（2）原式=.14．化简（1）（2）.（3）若,化简【解析】（1），（2）（3）因为，所以，15．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．【解析】假设存在角α，β满足条件，则由题可得①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴cos2α＝，∴cos α＝±.∵α∈，∴cos α＝.由cos α＝，cos α＝cos β，得cos β＝.∵β∈(0，π)，∴β＝.∴sin β＝，结合①可知sin α＝，则α＝.故存在α＝，β＝满足条件．16.已知，求下列各式的值：（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以.，两边平方得，又因为 所以 ，所以.（2），而 ，所以，.      一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】,故选D2.化简（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D．3．已知，那么(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.故选B．4．设α∈R，则下列结论中错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据诱导公式公式二，有公式四，有公式六，有公式二、三，有故选：D5．已知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则角α的最小正值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，又，点在第三象限，即是第三象限角，∴，最小正值为．故选：A．6.已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，．故选．7．已知角α的终边经过点(-4,-3)，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角α的终边经过点(-4,-3)，所以所以，，故选：A8．已知为第二象限角，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，已知为第二象限角，，，即.故选：D9．若，且，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，则，由于，则.故选A.10．已知，则(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知 则 故选C.二、多选题11．已知，则下列等式恒成立的是(   )A． B．C． D．E.【答案】CDE【解析】∵sin（﹣x）＝﹣sinx，故A不成立；∵，故B不成立；∵，故C成立；∵，故D成立，∵，故E成立.故选CDE．12．下列化简正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AB【解析】利用诱导公式，及 A选项：，故A正确；B选项：，故B正确；C选项：，故C不正确；D选项：，故D不正确故选：AB13．下列化简正确的是（    ）A． B．C． D．若，则【答案】ABD【解析】由诱导公式易知A正确；B正确，；C错误，；D正确，，原式∵，∴，∴，∴.故选：ABD.14．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ）A．成立的条件是角是锐角B．若（），则C．若（），则D．若，则【答案】CD【解析】由诱导公式二，知时，，所以A错误．当（）时，，此时，当（）时，，此时，所以B错误．若（），则，所以C正确．将等式两边平方，得，所以或．若，则，此时；若，则，此时，故，所以D正确．故选CD三、填空题15．已知，则________.【答案】【解析】因为，所以.故答案为：.16.已知，则的值为________．【答案】【解析】∵ ,∴ ，∵ ,∴ ,∴ .故答案为：.17．已知，且，则_________．【答案】【解析】依题意，即，由于，，所以，所以，所以.故答案为：18．已知，，则______；______.【答案】        【解析】，，,则,,故答案为：；.19．已知，则______；______.【答案】        【解析】因为，所以，所以，所以..故答案为：；.20．若，且为第二象限，则__________，__________.【答案】        【解析】由诱导公式可知，，因为，所以；由，，且为第二象限，解得，.故答案为：；21．已知，，则______；______．【答案】        【解析】，，即．；，，，，即，．联立，解得，．．故答案为；．