4.5.3 函数模型的应用举例-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数模型的应用实例【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润） 【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而。（2）当0≤x≤400时，，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，f (x)＜60000－100×400＜25000。∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。∴每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。  举一反三：【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。 【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得，∴。将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，∴。由计算器算得k=－1.15×10－4，∴。将x=600代入上述函数关系式得，由计算器算得y=0.943×105 Pa。答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。 类型二、自建函数模型的应用问题例2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8 m，最大装水量为72 ，池底和池壁的造价分别为2a元、a元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？【解析】设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z，由最大装水量知8xy=72，     当且仅当即时，总造价最低，答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元． 举一反三：【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则。因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。（2）当0＜x≤100时，P=60。当100＜x＜550时，。当x≥550时，P=51。∴（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元。  例3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【解析】（Ⅰ）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为   （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；当，所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．   举一反三：【变式1】有一块铁皮零件，其形状是由边长为40 cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=x cm，矩形DMPN的面积为y ．        （1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？【解析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0＜x≤30时，y=40x；20当点P在线段BA上，即30＜x≤40时，由，得．于是，．所以，，定义域D=（0，40]．（2）由（1）知，当0＜x≤30时，0＜y≤1200；当30＜x≤40时，，当且仅当时，等号成立．因此，y的最大值为．答：先在DE上截取线段，然后过点M作DE垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为