初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试达标测试

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2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．20°或80°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　）

A．3 B．2 C． D．
3．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，BC上的点F在AC的垂直平分线上，若AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△AEF的周长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的垂直平分线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为20，GE＝2．则AC的长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
5．在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．8或10
6．如图，在△ABC中，AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且ID⊥BC，垂足为D．若△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（　　）

A．27 B．30 C．24 D．18
7．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A．50°或130° B．130° C．80° D．50°或80°
8．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…，按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A2021B2021O等于（　　）

A．度 B．度 C．度 D．度
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的面积为 　 　．
10．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，∠ACB＝135°，则∠MCN＝　 　度．

11．如图，已知在△ABC中，AC＝10，BC＝5，AD＝6，CD平分∠ACB，则BD＝　 　．

12．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有 　 　个．

13．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 　 　．

14．如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于 　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝　 　．

16．如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 　 　．

三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．



18．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在△ABC外，AD＝AE．若∠BAD＝20°，∠DAE＝70°，求∠CAE和∠CDE的度数．



19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，E是BC延长线上一点，且CE＝CD．
（1）求∠DBC的度数；
（2）求证：DB＝DE．



20．如图，△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点M、N同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
（1）若点M的运动速度是2cm/s，点N的运动速度是4cm/s，当N到达点C时，M、N两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BMN的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是2cm/s，且当点M到达点B时，M、N两点停止运动，设点M的运动时间为t（s），则当t为何值时，△MBN是直角三角形？



21．如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF＝∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．

22．如图，BF是△ABC的角平分线，E为BC上一点，EF∥AB，过点E作BF的垂线，垂足为G，并交CA的延长线于点D，连结BD．
（1）求证：FG＝BG；
（2）当∠DBC＝90°，CF＝4，EB＝3时，求DE的长．


参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故选：D．
2．解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3，
故选：A．
3．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝12，
故选：D．
4．解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为20，
∴GB+EB+GE＝20，
∴EA+GC+GE＝20，即AC+2GE＝20，
∵GE＝2，
∴AC＝20﹣2×2＝16，故选：D．
5．解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，

∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，
∴有两种情况：
①当AB+BD＝3x＝15，且x+y＝12时，解得x＝5，y＝7，
此时AB＝BC＝10，AC＝7，能构成三角形，
∴AC＝7；
②当CD+AC＝x+y＝15且3x＝12时，解得x＝4，y＝11，
此时AB＝BC＝8，AC＝11，能构成三角形，
∴AC＝11；
综上，AC的长为7或11．
故选：C．
6．解：过I点作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，如图，
∵AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
∴IE＝IF＝ID＝3，
∴S△ABC＝S△ABI+S△IBC+S△IAC
＝×AB×3+×BC×3+×AC×3＝（AB+BC+AC）＝×18＝27．
故选：A．

7．解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，

∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．

②如图，等腰三角形为钝角三角形，

∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：A．
8．解：∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，
∴∠A2B2O＝α，
同理∠A3B3O＝∠A2B2O＝α，∠A4B4O＝α，
∴∠AnBnO＝α，
∴∠A2021B2021O＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则面积为×2×＝2；
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则面积为×3×＝．
故答案为：2或．
10．解：∵∠ACB＝135°，
∴∠A+∠B＝45°．
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠ACM+∠BCN＝45°．
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝135°﹣45°＝90°．
故答案为：90．
11．解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，过点C作CG⊥AB于点G，

∴S△ACD＝AC•DE＝AD•CG，
S△BCD＝BC•DF＝BD•CG，
∵CD平分∠ACD，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝2：1，
∴AD•CG：BD•CG＝2：1，即AD：BD＝2：1，
∵AD＝6，
∴BD＝3．
故答案为：3．
12．解：如图，当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），

当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故答案为：8．
13．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分ABC，
∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
14．解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠DBC＝2∠A，
∵BC＝CD，
∴∠D＝∠DBC＝2∠A，
∵∠ACD＝120°，
∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，
∴∠A＝20°，
故答案为：20°．
15．解：连接AM、AN，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B＝30°，∠NAC＝∠C＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM＝AN，
∴MN＝BM＝CN，
∴MN＝BC＝4，故答案为：4．

16．解：连接OA、OB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，故答案为：10°．


三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°．
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．
（2）设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β．
18．解：∵在等边△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝60°，
又∵∠BAD＝20°，∠DAE＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣20°＝40°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°；
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝，
又∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝80°﹣55°＝25°．
∴∠CAE＝30°；∠CDE＝25°．
19．解：（1）∵BD＝BC＝AD，BA＝AC，
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠ACB＝∠BDC，
设∠A＝α，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BDC＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；
（2）证明：∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
又∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝72°，
∴∠CDE＝∠E＝36°，
又∵∠DBC＝36°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE．
20．解：（1）△BMN是等边三角形，
理由：当t＝2时，AM＝4cm，BN＝8cm，
∵△ABC是等边三角形且边长是12cm，
∴BM＝12﹣4＝8（cm），∠B＝60°，
∴BM＝BN，
∴△BMN是等边三角形；
（2）在△BMN中，BM＝（12﹣2t）cm，BN＝2tcm，
①当∠BNM＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴，
∴，
∴t＝2；
②当∠BMN＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴，
∴，
∴t＝4，
综上：当t＝2或t＝4时，△BMN是直角三角形．
21．（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，

∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；
（2）解：△BCF是等腰三角形，
理由：如上图，∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
22．（1）证明：∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠FBE，
∵EF∥AB，
∴∠EFB＝∠ABF，
∴∠FBE＝∠EFB，
∴FE＝EB，
∵ED⊥BF，
∴FG＝BG；
（2）解：由（1）得DE垂直平分FB，
∴DB＝DF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∵EF＝EB＝3，
∴∠EFB＝∠EBF，
∴∠DFE＝∠DBC＝90°，
∴∠CFE＝90°，
在Rt△CEF中，EF＝3，CF＝4，
∴CE＝＝＝5，
∴BC＝CE+EB＝8，
∵EF∥AB，
∴∠CAB＝∠CFE＝90°，
设BD＝x，则CD＝4+x，
在Rt△BCD中，
CD2＝BD2+BC2，
即（4+x）2＝x2+82，
解得x＝6，
即BD＝6，
在Rt△BDE中，DE2＝EB2+BD2，
∴DE＝＝＝3．