北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试习题

这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试习题，共19页。

1．等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．5cmB．11cmC．8cm或5cmD．11cm或5cm
2．已知等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（ ）
A．55°B．70°C．55°或70°D．40°或70°
3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．如图，∠EAF＝18°，AB＝BC＝CD，则∠ECD等于（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（ ）
A．10B．11C．13D．15
6．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（ ）
A．50°B．80°C．90°D．100°
7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在等边三角形ABC中AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，则BE的长为 ．
10．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝21，DE＝3，AB＝9，则AC长是 ．
11．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为 ．
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝20°，则∠ACF＝ °．
13．如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD＝4cm，则BC的长为 cm．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 时，△ADE的形状是等腰三角形．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的大小为 ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AC＝10，BE＝3，F为AB中点，求DF的长．
18．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．
（1）求证：AC平分∠EAF；
（2）求证：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．
19．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BE＝2AE．
20．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．
（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
21．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M、N，两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝80°，求∠MCN的度数．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（21﹣5）÷2＝8（cm），能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是21﹣5×2＝11（cm），
∵5+5＝10＜11，
∴不能够组成三角形．
故该等腰三角形的底边长为：5cm．
故选：A．
2．解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，
则底角为：（180°﹣70°）×＝55°，
∴底角为70°或55°．
故选：C．
3．解：过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝8，
∴DO＝OP＝4，
∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1，
∴MO＝DO﹣MD＝4﹣1＝3．
故选：B．
4．解：∵AB＝BC，
∴∠EAF＝∠BCA＝18°，
∴∠CBD＝∠EAF+∠BCA＝36°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝36°，
∴∠ECD＝∠EAF+∠CDB＝18°+36°＝54°．
故选：B．
5．解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM＝5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE＝6，
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4＝∠5+∠C，
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，
∴∠5＝∠C，
∴CM＝BM＝6，
∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．
故选：B．
6．解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；
故选：B．
7．解：如图所示：
分三种情况：
①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置；
②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置；
③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；
∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，
故选：B．
8．解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
则在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AC＝6，
∴AB＝2BC，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（2BC）2＝BC2+（6）2，
解得：BC＝6，
∴BG'＝6．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝AC＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．
10．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴•AB•DE+•AC•DF＝21，
∴×9×3+×AC×3＝21，
∴AC＝5．
故答案为：5．
11．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD＝∠DCF，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCF，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴GC＝GD＝6，
∵EG＝2，
∴ED＝EG+GD＝2+6＝8，
∴BE＝ED＝8，
故答案为：8．
12．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC＝20°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝80°﹣20°＝60°．
故答案为：60．
13．解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴三角形的顶角为40°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝140°
∴三角形的顶角为140°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图3，
∵AB＝AC，∠BAD＝50°，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，
∴三角形的顶角为100°．
综上，三角形的顶角为40°或140°或100°．
故答案为：40°或140°或100°．
14．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴BD＝DA＝4cm，
∴CD＝2AD＝8（cm），
∴BC＝BD+CD＝12（cm），
故答案为：12．
15．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴当∠BDA的度数为 110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
故答案为：110°或80°．
16．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
分三种情况讨论：
①当B'A＝B'E时，如图：
∴∠B'EA＝∠A＝30°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠B'EA＝150°；
②当AB'＝AE时，如图：
∴∠AEB'＝∠AB'E＝＝75°，
∴∠BEB'＝180°﹣∠AEB'＝105°；
③当EA＝EB'时，如图：
∴∠A＝∠EB'A＝30°，
∴∠BEB'＝∠A+∠EB'A＝60°；
综上所述，∠BEB'为150°或105°或60°，
故答案为：150°或105°或60°．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴∠B+∠BFE＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）过点A作AG⊥DE，垂足为G，
∵AB＝AC，AC＝10，
∴AB＝10，
∵F为AB中点，
∴AF＝BF＝AB＝5，
在Rt△BFE中，BE＝3，
∴EF＝＝＝4，
∵∠AGF＝∠BEF＝90°，∠AFG＝∠BFE，
∴△AFG≌△BFE（AAS），
∴GF＝EF＝4，
∵AD＝AF，AG⊥DF，
∴DF＝2GF＝8．
18．（1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：∵∠EAD＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
由（2）知，∠FAD＝∠E，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵AE＝5，AF＝3，
∴EF＝＝4，
设DF＝x，
∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2，
∴（4+x）2﹣52＝32+x2，
解得x＝，
∴DF＝，
∴DE＝，
∴AD＝＝，
∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴AD＝CD＝，
∴CF＝﹣＝．
19．（1）解：设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝x，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，
答：∠A的度数是30°；
（2）证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，
∴AE＝CE
∴∠ECA＝∠A＝30°
又∠ACB＝4∠A＝120°，
∴∠BCE＝90°，
又∵∠B＝30°
∴BE＝2CE，
∴BE＝2AE．
20．（1）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD＝OE，OD＝OF，
∴OE＝OF，
∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP
＝∠ACB+∠ACD
＝∠BCD
＝×180°
＝90°，
∴OC⊥CP．
21．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm），
故△CMN的周长为3cm；
（2）∵∠MFN＝80°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣80°＝100°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝100°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣100°＝80°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×80°＝20°，
故∠MCN的度数为20°．