第二章复习提升-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章复习提升

易混易错练

易错点1　多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大

1.()已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围.

2.(2021山西朔州怀仁一中高一上月考,)已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.

易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错

3.(2019安徽宿州期中,)若x<0,则x++2 (　　)

A.无最大值,有最小值8

B.无最大值,有最小值-4

C.有最大值8,有最小值-4

D.有最大值-4,无最小值

4.(2021安徽蚌埠第三中学高一上检测,)x>0时,下列函数的最小值为2的是              (　　)

A.y=x(2-x) B.y=

C.y=x2+-1   D.y=+

5.(2019湖南岳阳期末,)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为　　　　,+的最小值为　　　　. 

易错点3　忽略二次项系数的符号而致错

6.(2019湖南三湘名校联盟期中,)若∀x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是              (　　)

A.a≤    B.-<a≤

C.a≥   D.a≤-或a≥

7.()设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　　)

A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m}

C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n}

8.(2021黑龙江大庆中学高一上期中,)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的子集个数为              (　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

9.()若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|m<x<1},则a=　　　　,m=　　　　. 

易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0而致错

10.(2021广东汕头金山中学高三上期中,)已知集合A=,B={0,1,2,4,8},则A∩B=              (　　)

A.{1,2,4,8}  B.{0,1,2}

C.{1,2}   D.{0,1,2,4}

11.(2021浙江精诚联盟高一上10月联考,)不等式≤1的解集是 (　　)

A.{x|-1<x≤1}    B.{x|x≤-1或x≥1}

C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或x≥1}

12.()解不等式:≤0. 

思想方法练

一、函数与方程思想在解不等式中的应用

1.(2021浙江台州实验中学高一上月考,)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　　. 

2.(2021山西太原师院附中、师苑中学高一上月考,)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是　　　　. 

二、分类讨论思想在解不等式中的应用

3.()设m∈R,关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为⌀.

(1)求实数m的取值范围;

(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.

4.()若不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,且M⊆[1,3],求实数a的取值范围.

三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用

5.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.()已知不等式mx2-mx-1<0.

(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;

(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.

四、转化与化归思想在不等式问题中的应用

7.()当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)

A.{m|m<6} B.{m|m≤6}

C.{m|m≥6} D.{m|m>6}

8.(2020北京师范大学附属实验中学高二期中,)设函数y=x2+mx+n,已知不等式y<0的解集为{x|1<x<4}.

(1)求m和n的值;

(2)若y≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.解析　令得

∴9a-c=y-x.

∵-4≤x≤-1,

∴≤-x≤①.

∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.

①和②相加,得-1≤y-x≤20,

∴-1≤9a-c≤20.

2.解析　设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,

则解得

∴2a+3b=(a+b)-(a-b).

∵-1<a+b<3,2<a-b<4,

∴-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1,∴--2<2a+3b<-1,

即-<2a+3b<.

3.D　若x<0,则-x>0,∴(-x)+≥2=6,当且仅当-x=,即x=-3时等号成立,∴x++2=-+2≤(-6)+2=-4,∴x++2有最大值-4,没有最小值.故选D.

4.B　对于选项A,当x>2时,2-x<0,此时y<0,不符合题意;

对于选项B,当x>0时,可得y==x+≥2=2,

当且仅当x=,即x=1时,等号成立,∴y=的最小值为2,符合题意;

对于选项C,y=x2+-1=x2+2+-3≥2-3=1,

当且仅当x2+2=,即x=0时等号成立,不符合题意;

对于选项D,y=+≥2×=2,

当且仅当=,即=1时取等号,又=1时x不存在,∴等号不成立,∴y的最小值不是2,不符合题意.

5.答案　2;

解析　∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2.∵+=·=×≥×=,当且仅当a=b=时等号成立,∴+的最小值为.

6.C　当a=0时,原不等式化为-3x≥0,不恒成立,不符合题意;

当a>0时,由对应二次函数的性质可知,要使ax2-3x+a≥0恒成立,只需满足解得a≥;

当a<0时,由对应二次函数的图象及性质可知,不符合题意.

综上可得,a的取值范围是a≥.

7.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.

由m+n>0知m>-n,

所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}.

故选B.

8.B　由-x2+x+2>0得x2-x-2<0,即(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2,

∴A={x∈Z|-x2+x+2>0}={0,1},它有22=4个子集.故选B.

9.答案　-3;-3

解析　由题意知,a≠0,且1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根,

∴解得或

易知a<0,∴

10.B　由≤0,得解得-2≤x<4,所以集合A={x|-2≤x<4}.

又B={0,1,2,4,8},所以A∩B={0,1,2}.

故选B.

11.D　不等式≤1,即-1≤0,所以≤0,

所以解得x≥1或x<-1,

所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.

故选D.

12.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0.

当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1<x≤0,

此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0};

当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0,

此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

思想方法练

1.答案　{m|2-2<m<2+2}

解析　设函数y=x2-mx+m+2,其图象的对称轴为直线x=,

①当≤-2,即m≤-4时,

(-2)2-m×(-2)+m+2>0,

解得m>-2,

又∵m≤-4,∴无解;

②当-2<<4,即-4<m<8时,

Δ=(-m)2-4(m+2)<0,

解得2-2<m<2+2,

又∵-4<m<8,

∴2-2<m<2+2;

③当≥4,即m≥8时,

42-m×4+m+2>0,

解得m<6,

又∵m≥8,∴无解.

综上所述,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}.

2.答案　

解析　由题意,可得x=-2和x=-是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a>0,

所以解得

则不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,即2ax2-5ax+2a<0,

因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2=(x-2)(2x-1)<0,

解得<x<2,即不等式ax2-bx+c<0的解集为.

3.解析　(1)由题意得Δ=4m2-4(m+2)≤0,即m2-m-2≤0,

解得-1≤m≤2.

故实数m的取值范围为[-1,2].

(2)mx2+(m-2)x-2≥0,即(mx-2)(x+1)≥0.

①当m=0时,不等式化为-2x-2≥0,解集为{x|x≤-1};

②当0<m≤2时,>-1,此时不等式的解集为;

③当-1≤m<0时,<-1,此时不等式的解集为.

综上所述,当m=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当0<m≤2时,不等式的解集为;当-1≤m<0时,不等式的解集为.

4.解析　方程x2-2ax+a+2=0的判别式Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2).

当M=⌀时,Δ<0,即-1<a<2,符合题意.

当M≠⌀时,若Δ=0,则a=-1或a=2.

当a=-1时,M={-1},不符合题意;当a=2时,M={2}⊆[1,3],符合题意.

若Δ>0,即a<-1或a>2,

则还需满足

所以2<a≤.

综上可知,实数a的取值范围是.

5.答案　

解析　由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.

由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.

6.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;

②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立需满足解得-4<m<0.

综上,实数m的取值范围是{m|-4<m≤0}.

(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;

②当m>0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向上,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需满足

解得m<,此时0<m<;

图1

③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,且对称轴为直线x=,若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则需x=1时的函数值为负,m<0符合题意.

图2

综上,实数m的取值范围是.

7.A　当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立⇔当x>0时,不等式m<x+恒成立⇔当x>0时,m<.

当x>0时,x+≥2=6(当且仅当x=3时取“=”),

所以=6,

所以m<6,故选A.

8.解析　(1)由题意知1,4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根.

所以-m=1+4=5,n=1×4=4,

故m=-5,n=4.

(2)由(1)得y=x2-5x+4.

所以x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,

即a≤x+-5对任意x>0恒成立,

即a≤,x>0.

因为x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立),

所以x+-5≥-1,所以=-1,所以a≤-1.