湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合测试题

这是一份湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合测试题，共13页。试卷主要包含了1　集合，下面四个说法错误的是，下列四个集合中,是空集的是，给出下列关系，下列说法正确的是，用符号“∈”或“∉”填空，给出下列说法等内容，欢迎下载使用。

1.1.1 集合
基础过关练
题组一 集合的概念与元素的特性
1.(2021四川成都第七中学高一上阶段测试)下列元素不能组成集合的是( )
A.不超过20的质数
B.π的近似值
C.方程x2=1的实数根
D.函数y=x2,x∈R的最小值
2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
3.(多选)下面四个说法错误的是( )
A.10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
C.方程x2-2x+1=0的解构成的集合是{1,1}
D.0与{0}表示同一个集合
4.下列四个集合中,是空集的是( )
A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
题组二 元素与集合的关系
5.(2021江西宜春一中高一上月考)给出下列关系:
①12∈R;②2∈Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Z;⑤0∉N.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
6.(2021福建三明第一中学高一上月考)下列说法正确的是( )
A.N中最小的数是1
B.若-a∉N+,则a∈N+
C.若a∈N+,b∈N+,则a+b的最小值是2
D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素
7.已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,那么a的值为( )
A.2B.2或4C.4D.6
8.用符号“∈”或“∉”填空:
(1)设集合B是小于11的所有实数的集合,则23 B,1+2 B;
(2)设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1 D,(-1,1) D.
9.(2020辽宁抚顺一中高一月考)给出下列说法:
①0∈N+;②如果a,b∈Z,则a-b∈Z;③所有正方形构成的集合是有限集;④如果a∈N,则-a∉N.其中正确的是 .(填序号)
题组三 集合的表示方法
10.(2021天津实验中学高一上月考)集合{x∈N|x-3<2}用列举法表示正确的是( )
A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,3,4}
11.(1)用列举法表示方程组x+y=1,x2+y2=1 的解组成的集合为 ;
(2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集为 .
12.用适当的方法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的数组成的集合;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B.
13.用区间表示下列集合:
(1)x-12≤x<5;
(2){x|x<1};
(3){x|x≥4}.
能力提升练
题组一 集合的概念与元素的特性
1.()由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合最多含( )
A.2个元素B.3个元素
C.4个元素D.5个元素
2.(2021天津实验中学高一上检测,)已知a,b,c均为非零实数,集合A=x|x=|a|a+b|b|+ab|ab|,则集合A中元素的个数为 .
题组二 元素与集合的关系
3.()已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则( )
A.a+b∈P
B.a+b∈Q
C.a+b∈M
D.a+b不属于P,Q,M中的任意一个
4.(2021湖南长沙南雅中学高一上检测,)已知集合A={12,a2+4a,a-2},-3∈A,则a=( )
A.-1B.-3或1C.3D.-3
5.(多选)()实数1是下面哪个集合中的元素( )
A.整数集ZB.{x|x=|x|}
C.{x∈N|-16.(2020海南海口中学高一月考,)已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},则集合B中所含元素的个数为 .
7.(2020北京丰台高一上月考,)已知集合A中有且仅有2个元素,并且实数a满足a∈A,且4-a∈A.若a∈N,4-a∈N,则A= .
8.()集合A是由形如m+3n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-3,b=13-3,c=(1-23)2与集合A的关系.
题组三 集合的综合问题
9.(2020浙江宁波高一月考,)已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N+),如果A中的元素ai(i=1,2,3,…,n)满足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an,就称A为“复活集”,给出下列结论:
①集合-1+52,-1-52是“复活集”;
②若a1,a2∈R,且{a1,a2}是“复活集”,则a1a2>4;
③若a1,a2∈N+,则{a1,a2}不可能是“复活集”.
其中所有正确结论的序号有 .
10.()已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.
(1)若1∈A,用列举法表示A;
(2)当集合A中有且仅有一个元素时,求a的值组成的集合B.
11.(2020上海金山中学高一期中,)设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则11-x∈A.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)集合A能否只含有两个元素?请说明理由;
(3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为143,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A中的所有元素.
答案全解全析
基础过关练
1.B 对于选项A,由“不超过20”和“质数”这两个标准可以明确数值为2、3、5、7、11、13、17、19,故不超过20的质数可以组成集合;对于选项B,因为π是无限不循环小数,在没有明确近似值的误差的情况下,无法确定π的近似值是多少,所以选项B中元素不能组成集合;对于选项C,因为方程x2=1的实数根是明确的两个数值1和-1,所以方程x2=1的实数根可以组成集合;对于选项D,由二次函数的性质可知,函数y=x2,x∈R的最小值是明确的数值0,所以函数y=x2,x∈R的最小值可以组成集合.故选B.
2.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两不相等,故选D.
3.CD 10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7},故A中说法正确;由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}相等,且都可以表示由1,2,3组成的集合,故B中说法正确;方程x2-2x+1=0的解构成的集合应为{1},故C中说法错误;由集合的表示方法知“0”不是集合,故D中说法错误.故选CD.
4.D 选项A,{x|x+3=3}={0};
选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};
选项C,{x|x2≤0}={0};
选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.故选D.
5.D 根据元素与集合的关系,可知①②③④正确,⑤错误.故选D.
6.C 最小的自然数是0,故A错误;
当a=0时,-a∉N+,且a∉N+,故B错误;
若a∈N+,b∈N+,则a,b的最小值都是1,当a,b都取最小值时,a+b取得最小值,故C正确;
x2+4=4x的实数解为x1=x2=2,故x2+4=4x的实数解组成的集合中含有1个元素,故D错误.故选C.
7.B 若a=2,则6-2=4,4∈A;若a=4,则6-4=2,2∈A;若a=6,则6-6=0,0∉A.因此a=2或a=4.故选B.
8.答案 (1)∉;∈ (2)∉;∈
解析 (1)∵23=12>11,∴23∉B.∵(1+2)2=3+22<3+2×4=11, ∴1+2<11,∴1+2∈B.
(2)∵集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1不是有序实数对,∴-1∉D.
又(-1)2=1,∴(-1,1)∈D.
9.答案 ②
解析 0∉N+,故①错;易知②正确;③中所有正方形构成的集合是无限集;当a=0时,-a=0∈N,④错误.
10.D 由题意得x<5,且x∈N,∴集合为{0,1,2,3,4}.故选D.
11.答案 (1){(0,1),(1,0)} (2){x|-2解析 (1)由x+y=1,x2+y2=1,解得x=0,y=1或x=1,y=0,所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}.
(2)因为-1<2x+3<9,所以-2所以不等式的解集为{x|-212.解析 (1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)(x,y)-1≤x≤2,-12≤y≤1,且xy≥0.
(3)因为x=|x|,所以x≥0.又因为x∈Z,所以B={x|x∈N}.
13.解析 (1)x-12≤x<5可表示为-12,5.
(2){x|x<1}可表示为(-∞,1).
(3){x|x≥4}可表示为[4,+∞).
能力提升练
1.A 由于x2=|x|,-3x3=-x,并且在x,-x,|x|中,当x>0时,|x|=x,当x<0时,|x|=-x,当x=0时,|x|=x=-x=0,三者中至少有2个相等,所以由集合中元素的互异性可知,该集合中最多含2个元素.故选A.
2.答案 2
解析 当a>0,b>0时,ab>0,x=|a|a+b|b|+ab|ab|=1+1+1=3;
当a>0,b<0时,ab<0,x=|a|a+b|b|+ab|ab|=1-1-1=-1;
当a<0,b<0时,ab>0,x=|a|a+b|b|+ab|ab|=-1-1+1=-1;
当a<0,b>0时,ab<0,x=|a|a+b|b|+ab|ab|=-1+1-1=-1,
故x的所有值构成的集合为{-1,3},集合A中元素的个数为2.
3.B ∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k∈Z).故选B.
4.D ∵-3∈A,∴-3=a2+4a或-3=a-2.
若-3=a2+4a,则a=-1或a=-3,
当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立;
若-3=a-2,则a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,a=-3.故选D.
5.ABD 1是整数,因此实数1是整数集Z中的元素;由x=|x|,得x≥0,因此实数1是集合{x|x=|x|}中的元素;实数1不满足-16.答案 1
解析 因为A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},
所以B={(1,1)},所以集合B中只有一个元素,故答案是1.
7.答案 {1,3}或{0,4}
解析 因为a∈N,4-a∈N,所以a=0,1,2,3,4.当a=0时,4-a=4∈N(或a=4时,4-a=0∈N),集合{0,4}满足题意;当a=1时,4-a=3∈N(或a=3时,4-a=1∈N),集合{1,3}满足题意;当a=2时,4-a=2∈N,这时不存在满足题意的集合A.
综上所述,A={1,3}或{0,4}.
8.解析 ∵a=-3=0+(-1)×3,而0,-1∈Z,∴a∈A.
∵b=13-3=3+3(3-3)(3+3)=12+36,而12,16∉Z,∴b∉A.
∵c=(1-23)2=13+(-4)×3,而13,-4∈Z,∴c∈A.
9.答案 ①③
解析 ①-1+52×-1-52=-1+52+-1-52=-1,故①正确.
②不妨设a1+a2=a1a2=t,则由根与系数的关系知a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个不相等的实数根,由Δ>0,可得t2-4t>0,解得t<0或t>4,故②错误.
③根据集合中元素的互异性知a1≠a2,不妨设a1∵a1∈N+,∴a1=1.于是1+a2=1×a2,无解,即不存在满足条件的“复活集”,故③正确.
10.解析 (1)若1∈A,则1是方程ax2+2x+1=0的实数根,
∴a+2+1=0,解得a=-3,
∴方程为-3x2+2x+1=0,
解得x=1或x=-13,
∴A=1,-13.
(2)当a=0时,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,
解得x=-12,此时A=-12;
当a≠0时,若集合A中有且仅有一个元素,
则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,∴a≠0,Δ=4-4a=0,解得a=1,此时A={-1}.
综上,当a=0或a=1时,集合A中有且仅有一个元素,∴a的值组成的集合B={0,1}.
11.解析 (1)证明:由题意可知
若2∈A,则11-2=-1∈A.
∵-1∈A,∴11-(-1)=12∈A.
∵12∈A,∴11-12=2∈A,
∴若2∈A,则A中还有另外两个元素-1,12.
(2)集合A不是双元素集合.理由如下:
若x∈A,则11-x∈A,则11-11-x=x-1x∈A,且x≠11-x,11-x≠x-1x,x≠x-1x,故集合A中至少有3个元素,∴集合A不能只含有两个元素.
(3)由(2)可知,若x∈A,则x,11-x,x-1x都为A中的元素,且x·11-x·x-1x=-1<0,
∴A中元素的个数不为3,又∵A中元素的个数不超过8,∴A中有6个元素.
设m∈A(m≠x),则m,11-m,m-1m都为A中的元素,此时A=x,11-x,x-1x,m,11-m,m-1m,所有元素的积为1,∴11-x2=1或x-1x2=1,∴x=2或x=12,∴12+2-1+m+11-m+m-1m=143,解得m=-12或m=3或m=23,
∴A中的所有元素为12,2,-1,-12,3,23.