人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试学案

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1．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－1 D．1
答案 C
解析 由已知，得eq \f(y＋3,4－2)＝tan 45°＝1.故y＝－1.
2．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为( )
A.eq \f(1,a) B．－eq \f(1,a) C．a D．－eq \f(1,a)或不存在
答案 D
解析 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－eq \f(1,a)，当a＝0时，l2的斜率不存在．
3．已知M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，且直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，则点N的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(2,1)
C．(2,3) D．(－2，－1)
答案 C
解析 设点N的坐标为(x，x＋1)，
∵直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，
∴kMN·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，
∴kMN＝2，即eq \f(x＋1－－1,x－0)＝2，
解得x＝2，故点N的坐标为(2,3)．
4．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a的值是( )
A．3或－2 B．3
C．－2 D．－3
答案 B
解析 ∵l1∥l2，∴A1B2＝A2B1，
即a·(a－1)－6＝0，即a2－a－6＝0，
解得a＝3或－2.
当a＝3时，l1：3x＋3y－1＝0，
l2：2x＋2y＋1＝0，∴l1∥l2，
当a＝－2时，l1：－2x＋3y－1＝0，即2x－3y＋1＝0，
l2：2x－3y＋1＝0，∴l1与l2重合．
综上有a＝3.
5．已知动点P在直线l1：3x－4y＋1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x＋my＋4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
答案 C
解析 因为l1∥l2，所以eq \f(6,3)＝eq \f(m,－4)≠eq \f(4,1)，解得m＝－8，
化简得l2：3x－4y＋2＝0，
设l1，l2间的距离为d，则d＝eq \f(|2－1|,\r(32＋－42))＝eq \f(1,5)，
由平行线的性质知|PQ|的最小值为eq \f(1,5).
6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心(三边中垂线的交点)、重心(三边中线的交点)、垂心(三边高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，则该三角形的欧拉线方程为( )
A．x＋2y－5＝0 B．x－2y－5＝0
C．2x＋y－10＝0 D．2x－y－10＝0
答案 A
解析 由重心坐标公式可得，
重心Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋5＋2,3)，\f(0＋0＋4,3)))，即Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(4,3))).
设外心Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，a))，因为|MA|＝|MC|，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－0))2＋a－02)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－2))2＋a－42)，
解得a＝eq \f(5,4)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(5,4))).
kGM＝eq \f(\f(4,3)－\f(5,4),\f(7,3)－\f(5,2))＝－eq \f(1,2)，
故欧拉线方程为y－eq \f(4,3)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7,3)))，
即x＋2y－5＝0.
二、多项选择题
7．下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
答案 AB
解析 A选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确；
B选项，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，故正确；
C选项，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误；
D选项，还有一条截距都为0的直线y＝x，故错误．
8．若直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1 B．3 C．0 D．－1
答案 AB
解析 ∵l1⊥l2，
∴k1·k2＝－1，即eq \f(3,4)×eq \f(a2＋1－－2,0－3a)＝－1，
解得a＝1或a＝3.
三、填空题
9．已知三角形的三个顶点A(7,8)，B(10,4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．
答案 eq \r(65)
解析 设BC边的中点M的坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(10＋2,2)＝6，,y＝\f(4＋－4,2)＝0，))即M的坐标为(6,0)，
所以|AM|＝eq \r(6－72＋0－82)＝eq \r(65).
10．过点(2，－1)且法向量为(2，－1)的直线方程是________________．
答案 2x－y－5＝0
解析 设直线方程为2x－y＋c＝0，将点(2，－1)代入解得c＝－5.
所以所求直线方程为2x－y－5＝0.
11．不论a为何实数，直线(a＋3)x＋(2a－1)y＋7＝0恒过第________象限．
答案 二
解析 直线方程可变形为(3x－y＋7)＋a(x＋2y)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－y＋7＝0，,x＋2y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
所以直线过定点(－2,1)，因此直线必定过第二象限．
12．已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
答案 －6
解析 由题意，得l1∥l2，∴kAB＝kMN.
∵kAB＝eq \f(2,－\f(4,a))＝－eq \f(a,2)，kMN＝eq \f(－2－1,0－1)＝3，
∴－eq \f(a,2)＝3，∴a＝－6.
四、解答题
13．已知直线2x－3y＋1＝0和直线x＋y－2＝0的交点为P.
(1)求过点P且与直线3x－y－1＝0平行的直线方程；
(2)若直线l1与直线3x－y－1＝0垂直，且P到l1的距离为eq \f(2\r(10),5)，求直线l1的方程．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,x＋y－2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))可知交点P(1,1)．
(1)设与直线3x－y－1＝0平行的直线方程为3x－y＋c1＝0(c1≠－1)，
把交点P(1,1)代入可得3－1＋c1＝0，∴c1＝－2，
∴所求的直线方程为3x－y－2＝0.
(2)设与直线3x－y－1＝0垂直的直线方程为l1：x＋3y＋c2＝0，
∵P(1,1)到l1的距离为eq \f(|1＋3＋c2|,\r(10))＝eq \f(2\r(10),5)，
解得c2＝0或－8，
∴直线l1的方程为x＋3y＝0或x＋3y－8＝0.
14．已知直线l：(a2－a＋1)x－(a2＋a＋1)y－a2＋3a－1＝0，a∈R.
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
(2)求当a＝1和a＝－1时对应的两条直线夹角的余弦值．
解 (1)∵l：(a2－a＋1)x－(a2＋a＋1)y－a2＋3a－1＝0，
∴(x－y－1)a2＋(－x－y＋3)a＋(x－y－1)＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,－x－y＋3＝0，))∴x＝2，y＝1，
∴直线l恒过定点，定点坐标为(2,1)．
(2)当a＝1时，直线的方程为x－3y＋1＝0，
则该直线的方向向量为(3,1)，
当a＝－1时，直线的方程为3x－y－5＝0，
则该直线的方向向量为(1,3)，
cs θ＝eq \f(6,\r(10)×\r(10))＝eq \f(3,5)，
所以两直线夹角的余弦值为eq \f(3,5).
15．已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 如图．
(1)因为∠ABC，∠ACB的平分线分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称．
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上．
由两点式求得直线BC的方程为eq \f(y＋1,3＋1)＝eq \f(x＋3,－1＋3)，
即2x－y＋5＝0.
(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，
即直线AB与BC关于y轴对称，
所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，
所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，
所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，
即2x＋y－5＝0.