高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案

这是一份高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案，共12页。学案主要包含了两条直线平行的判定，两条直线垂直的判定，平行与垂直的综合应用等内容，欢迎下载使用。


导语
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？
一、两条直线平行的判定
问题1 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？
提示 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
问题2 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？
提示 两直线平行，倾斜角相等．
知识梳理
对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.
注意点：
(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．
(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．
例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；
(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
解 (1)k1＝eq \f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq \f(－1－4,－1－3)＝eq \f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行．
(2)k1＝1，k2＝eq \f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合．
(3)k1＝eq \f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq \f(0－3,2－－1)＝－1，则有k1＝k2.
又kAM＝eq \f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，
则A，B，M不共线．故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
延伸探究 已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为 .
答案 0或1
解析 当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；
当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝eq \f(4－m,m－－2)＝eq \f(4－m,m＋2)，
kMN＝eq \f(3－1,m＋2－1)＝eq \f(2,m＋1).
因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，
即eq \f(4－m,m＋2)＝eq \f(2,m＋1)，解得m＝0或m＝1.
当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．
综上，m的值为0或1.
反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(0,3)，B(5,3)，l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行．
解 ∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
解 由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝eq \f(m－0,－5－m＋1)＝eq \f(m,－6－m)，kCD＝eq \f(5－3,0－－4)＝eq \f(1,2)，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即eq \f(m,－6－m)＝eq \f(1,2)，得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
二、两条直线垂直的判定
问题3 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
提示 k1·k2＝－1.
知识梳理
注意点：
(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
例2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
反思感悟 判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
跟踪训练2 (多选)下列各对直线互相垂直的是( )
A．l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)
B．l1的斜率为－eq \f(2,3)，l2过点P(1,1)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))
C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，eq \r(3))，Q(4,2eq \r(3))
D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)
答案 ABD
解析 A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；
B中，l2过点P(1,1)，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，kPQ＝eq \f(3,2)，故两条直线垂直．
C中，kPQ＝eq \r(3)，故l1不与l2垂直．
D中，l1过点M(1,0)，N(4，－5)，kMN＝－eq \f(5,3) ，l2过点P(－6，0)，Q(－1,3)，kPQ＝eq \f(3,5)，故两条直线垂直．
三、平行与垂直的综合应用
例3 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
解 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝eq \f(5－3,2－－4)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)，
∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形．
反思感悟 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
跟踪训练3 已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解 设所求点D的坐标为(x，y)，
如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，
∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，
∴eq \f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，
故所求点D的坐标为(3,3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝eq \f(y－3,x)，kCD＝eq \f(y,x－3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))
解得x＝eq \f(18,5)，y＝eq \f(9,5)，
∴D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(9,5))).
综上，D点坐标为(3,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(9,5))).
1．知识清单：
(1)两直线平行的判定．
(2)两直线垂直的判定．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．2 D．－2
答案 B
解析 由题意知，PQ的斜率存在，
由kPQ＝kMN，即eq \f(2m－2,3－－m)＝eq \f(4－－1,－3－2)，得m＝－eq \f(1,3).
经检验知，m＝－eq \f(1,3)符合题意．
2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为( )
A.eq \f(1,a) B．－eq \f(1,a)
C．a D．不存在
答案 BD
解析 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－eq \f(1,a)，
当a＝0时，l2的斜率不存在．
3．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．平行或重合
答案 D
解析 直线l1的倾斜角为135°，
故斜率＝tan 135°＝－1.
由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，
得＝eq \f(－6－－1,3－－2)＝－1，
所以，
所以直线l1与l2平行或重合．
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝ .
答案 eq \f(5,2)
解析 设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，
则有kAD·kBC＝－1，
所以有eq \f(1－2,m－2)·eq \f(3－1,4－0)＝－1，解得m＝eq \f(5,2).
课时对点练
1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
答案 B
解析 斜率都为0且不重合，所以平行．
2．直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
答案 C
解析 如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，
∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－eq \r(3).
3．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
答案 B
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，
所以l1⊥l2，故选B.
4．若直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3
答案 D
解析 因为l1⊥l2，
所以k1·k2＝－1，
即eq \f(3,4)×eq \f(a2＋1－－2,0－3a)＝－1，
解得a＝1或a＝3.
5．(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
答案 ABD
解析 由斜率公式知，
kPQ＝eq \f(－4－2,6＋4)＝－eq \f(3,5)，kSR＝eq \f(12－6,2－12)＝－eq \f(3,5)，kPS＝eq \f(12－2,2＋4)＝eq \f(5,3)，kQS＝eq \f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq \f(6－2,12＋4)＝eq \f(1,4)，
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故ABD正确．
6．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为( )
A．(－1,0) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(0,1)
答案 D
解析 设D(x，y)，
则kCD＝eq \f(y－0,x－3)＝eq \f(y,x－3)，kAD＝eq \f(y＋1,x－1).
kAB＝eq \f(2＋1,2－1)＝3，kCB＝eq \f(2－0,2－3)＝－2，
又CD⊥AB，CB∥AD，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kCD·kAB＝－1，,kAD＝kCB，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x－3)·3＝－1，,\f(y＋1,x－1)＝－2，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝3，,2x＋y＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))即D(0,1)．
7．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为 ．
答案 (0，－6)或(0,7)
解析 设点P的坐标为(0，y)．
因为∠APB＝90°，
所以AP⊥BP，
又kAP＝eq \f(y＋5,2)，kBP＝eq \f(y－6,－6)，kAP·kBP＝－1，
所以eq \f(y＋5,2)·eq \f(y－6,－6)＝－1，
解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)．
8．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为 ．
答案 －1
解析 由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝eq \f(3－a－b,3－b－a)＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解 (1)由kAB＝eq \f(m－3,2m2)＝tan 135°＝－1，
解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1.
(2)由kAB＝eq \f(m－3,2m2)，且eq \f(－7－2,0－3)＝3，
得eq \f(m－3,2m2)＝－eq \f(1,3)，
解得m＝eq \f(3,2)或m＝－3.
(3)令eq \f(m－3,2m2)＝eq \f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq \f(3,4)或m＝－1.
经检验，当m＝eq \f(3,4)或m＝－1时，均符合题意．
10．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
解 (1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝6.))
所以D(－1,6)．
(2)因为kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．
11．(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案 BC
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.
当m≠0时，kAB＝eq \f(m＋4－3,2m－m)，kCD＝eq \f(2－0,m＋1－1)，
则kAB＝kCD，即eq \f(m＋1,m)＝eq \f(2,m)，得m＝1，∴m＝0或1.
12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3,1) B．(4,1)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 A
解析 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.
13．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为 ．
答案 (－19，－62)
解析 设A(x，y)，
因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－eq \f(1,5)，kCH＝－eq \f(1,3)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－3,x＋6)＝5，,\f(y－1,x－2)＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－19，,y＝－62.))所以A(－19，－62)．
14．已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是 ．
答案 (1,0)或(2,0)
解析 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x,0)，则kAC＝eq \f(－3,x＋1)，kBC＝eq \f(－2,x－4)，
所以eq \f(－3,x＋1)·eq \f(－2,x－4)＝－1，解得x＝1或x＝2，
所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0)．
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝ .
答案 4＋eq \r(3)
解析 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝eq \r(3).
由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝eq \r(3).
∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－eq \f(1,k2)＝－eq \f(\r(3),3).
∴eq \f(m－1－2,1－m)＝eq \f(m－3,1－m)＝－eq \f(\r(3),3)，
解得m＝4＋eq \r(3).
16．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
解 (1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即eq \f(y,x－3)×3＝－1.①
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即eq \f(y＋1,x－1)＝－2.②
联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)．
(2)设Q(x,0)，
∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
又∵kNQ＝eq \f(2,2－x)，kNP＝－2，
∴eq \f(2,2－x)＝2，即x＝1，
∴Q(1,0)．
又∵M(1，－1)，
∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
对应关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1
l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示