高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案

§4.4　对数函数

4．4.1　对数函数的概念

学习目标　1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．

知识点　对数函数的概念

一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

思考　函数y＝logπx，y＝log2是对数函数吗？

答案　y＝logπx是对数函数，y＝log2不是对数函数．

1．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(　√　)

2．y＝log2x2是对数函数．(　×　)

3．若对数函数y＝logax，则a>0且a≠1.(　√　)

4．函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(　×　)

一、对数函数的概念及应用

例1　(1)指出下列函数哪些是对数函数？

①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1.

解　①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

②符合对数函数的结构形式，是对数函数．

③自变量在底数位置上，不是对数函数．

④对数式log2x后又加上1，不是对数函数．

(2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f ＝________.

答案　－5

解析　设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

∵f(x)的图象过点P(8,3)，

∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.

∴f(x)＝log2x，

f ＝log2＝log22－5＝－5.

反思感悟　判断一个函数是对数函数的方法

跟踪训练1　若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.

答案　2

解析　由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.

又a>0且a≠1，所以a＝2.

二、与对数函数有关的定义域

例2　求下列函数的定义域：

(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；

(2)y＝log2(16－4x)＋；

(3)y＝log(1－x)5.

解　(1)由得－3<x<3，

∴函数的定义域是(－3,3)．

(2)由得

∴1<x<2.

∴函数y＝log2(16－4x)＋的定义域为(1,2)．

(3)依题意知得x<1且x≠0，

∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．

反思感悟　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负．

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

跟踪训练2　求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；

(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．

解　(1)要使函数有意义，需满足

解得x>2且x≠3，

所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足

解得－1<x<0或0<x<4，

所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．

三、对数函数模型的应用

例3　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．

(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；

(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

解　(1)由题意知y＝

(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，

即log5(x－9)＝2，

∴x－9＝52，解得x＝34.

∴老江的销售利润是34万元．

反思感悟　对数函数应用题的解题思路

(1)依题意，找出或建立数学模型．

(2)依实际情况确定解析式中的参数．

(3)依题设数据解决数学问题．

(4)得出结论．

跟踪训练3　某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　)

A．300只   B．400只

C．500只   D．600只

答案　A

解析　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，

则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝log2x   B．y＝ln(x＋1)

C．y＝logxe   D．y＝logxx

答案　A

2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)

A．[1，＋∞)   B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(－∞，1]

答案　B

3．对数函数的图象过点M(125,3)，则此对数函数的解析式为(　　)

A．y＝log5x   B．y＝

C．y＝   D．y＝log3x

答案　A

解析　设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图象过点M(125,3)，

所以3＝loga125，得a＝5.

所以对数函数的解析式为y＝log5x.

4．对数函数f(x)过点(9,2)，则f ＝________.

答案　－1

解析　设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，loga9＝2，

∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)，

∴f(x)＝log3x，∴f ＝log3＝－1.

5．函数y＝ln(3－x)＋的定义域为________．

答案　[1,3)

解析　由解得1≤x<3，

则函数的定义域为[1,3)．

1．知识清单：

(1)对数函数的概念和定义域．

(2)对数函数模型的简单应用．

2．方法归纳：待定系数法．

3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．

1．给出下列函数：

①y＝；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；

④y＝logex.

其中是对数函数的有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

答案　A

解析　①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．

2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)

A．{x|x>－1}   B．{x|x<1}

C．{x|－1<x<1}   D．∅

答案　C

解析　∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，

N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，

∴M∩N＝{x|－1<x<1}．

3．与函数y＝10lg(x－1)相等的函数是(　　)

A．y＝2   B．y＝|x－1|

C．y＝x－1   D．y＝

答案　A

解析　y＝10lg(x－1)＝x－1(x>1)，

而y＝2＝x－1(x>1)．

4．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(2,3)∪(3，＋∞)   D．(2,4)∪(4，＋∞)

答案　C

解析　要使函数有意义，则

解得x>2且x≠3.

5．设函数f(x)＝则f(f(10))的值为(　　)

A．lg 101  B．1  C．2  D．0

答案　C

解析　f(f(10))＝f(lg 10)＝f(1)＝12＋1＝2.

6．函数f(x)＝logax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________.

答案　3

解析　依题意有解得a＝3.

7．函数y＝的定义域是，则a＝________.

答案　2

解析　由y＝知，3x－a>0，即x>.

∴＝，即a＝2.

8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．

答案　128

解析　由题意得5＝2log4x－2，

即7＝log2x，得x＝128.

9．求下列函数的定义域：

(1)y＝log5(1－x)；

(2)y＝log(3x－1)5；

(3)y＝.

解　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，

所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．

(2)要使函数式有意义，需

解得x>，且x≠，

所以函数y＝log(3x－1)5的定义域是.

(3)要使函数式有意义，需

解得x<4，且x≠3，

所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．

10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．

(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；

(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？

解　(1)M＝lg A－lg A0＝lg＝lg＝lg 104＝4.

即这次地震的震级为4级．

(2)由题意得

所以lg A8－lg A5＝3，

即lg＝3.

所以＝103＝1 000.

即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．

11．函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)

A．(0,1)  B．[0,1)  C．(0,1]  D．[0,1]

答案　B

解析　由得0≤x<1.

12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为180只，则15年后它们发展到(　　)

A．300只  B．400只  C．600只  D．720只

答案　D

解析　将x＝1，y＝180代入y＝alog2(x＋1)得，

180＝alog2(1＋1)，解得a＝180，

所以x＝15时，y＝180log2(15＋1)＝720.

13．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.

答案　1

解析　由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.

又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.

14．函数f(x)＝lg的定义域为R，则实数k的取值范围是________．

答案　[0,3)

解析　依题意，2kx2－kx＋>0的解集为R，

即不等式2kx2－kx＋>0恒成立，

当k＝0时，>0恒成立，∴k＝0满足条件．

当k≠0时，则解得0<k<3.

综上，k的取值范围是[0,3)．

15．函数f(x)＝log(x－1)(3－x)的定义域为(　　)

A．(1,2)   B．(2,3)

C．(1,2)∪(2,3)   D．(1,3)

答案　C

解析　由题意知解得1<x<3，且x≠2，

故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．

16．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．

解　∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a.

∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0，∴a<.

又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<，

∴实数a的取值范围为(0,1)∪.