高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案及答案

4.4.1　对数函数的概念

(教师独具内容)

课程标准：初步了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．

教学重点：对数函数的概念．

教学难点：运用对数函数的概念解决问题.

【知识导学】

知识点　对数函数

一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝logx是对数函数．(　　)

(2)函数y＝2log3x是对数函数．(　　)

(3)函数y＝log3(x＋1)的定义域是(0，＋∞)．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)下列函数是对数函数的有(　　)

①y＝2log3x；②y＝1＋log3x；③y＝log3x；④y＝(log3x)2.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

(2)函数f(x)＝lg 的定义域为(　　)

A．(1,4)   B．[1,4)

C．(－∞，1)∪(4，＋∞)   D．(－∞，1]∪(4，＋∞)

(3)已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N＝________.

答案　(1)A　(2)A　(3){x|－1＜x＜1}

题型一  对数函数的概念及应用

例1　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.

[解析]　由对数函数的定义可知解得a＝4.

[答案]　4

金版点睛

判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logaxa＞0，且a≠1这种形式.

1对数符号前面的系数是1；

2对数的底数是不等于1的正实数常数；

3对数的真数仅有自变量x.

　下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)

①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

答案　B

解析　形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B.

题型二  对数型函数的定义域

例2　求下列函数的定义域：

(1)y＝；(2)y＝；

(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．

[解]　(1)由题意，得即

∴x≤1.即y＝的定义域为{x|x≤1}．

(2)由得

解得x>，且x≠1.

∴y＝的定义域为{x.

(3)由题意，得解得

∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x

∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为x

金版点睛

求函数的定义域应考虑的几种情况

求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①中f(x)≠0；②(n∈N*)中f(x)≥0；③logaf(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④logf(x)a(a>0)中f(x)>0，且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．

　求下列函数的定义域：

(1)y＝；(2)y＝；

(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．

解　(1)要使函数式有意义，需

解得x>1，且x≠2.

∴函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}．

(2)要使函数式有意义，需

即解得x≥4.

∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．

(3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2.

∴所求函数的定义域是{x|x<2}．

(4)要使函数式有意义，需

解得1<x<3，且x≠2.

∴所求函数的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}．

1．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝loga(2x)   B．y＝log22x

C．y＝log2x＋1   D．y＝lg x

答案　D

解析　形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D，其他的不符合．故选D.

2．函数y＝ln 的定义域是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．[4，＋∞)

答案　C

解析　要使函数有意义，真数需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故选C.

3．设f(log2x)＝2x，x＞0，则f(3)的值是(　　)

A．128  B．256  C．512  D．8

答案　B

解析　log2x＝3，即x＝8，所以f(3)＝28＝256.故选B.

4．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f＝________.

答案　－4

解析　设f(x)＝logax，则f＝loga＝－2，得a＝，f＝log＝－4.

5．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝alg (a是常数)，其中I0＝1×10－12瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10－11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝．

已知生活中几种声音的强度如表：

求a和m的值．

解　将I0＝1×10－12瓦/平方米，I＝1×10－11瓦/平方米代入L＝alg ，得

10＝alg ＝alg 10＝a，

即a＝10，m＝10lg ＝10lg 100＝20.