高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案设计

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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
教学设计
一、 教学目标
1. 掌握用坐标表示平面向量的数量积；
2. 会用坐标表示两个平面向量的夹角；
3. 能用坐标表示平面向量垂直的充要条件.
二、 教学重难点
1. 教学重点
平面向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件的坐标表示.
2. 教学难点
平面向量数量积的坐标表示的应用.
三、 教学过程
（一） 新课导入
复习：平面向量数乘运算的坐标表示：已知，.
（二） 探索新知
问题1 已知，，怎样用坐标表示呢？
因为，
所以.
又，，，
所以.
结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
问题2 用坐标表示向量的模.
若，则，.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么
，
.
问题3 复习：设是非零向量，.如何用坐标表示两个向量垂直？
设，，则
.
例10 若点A1，2，B2，3，C(-2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想.
解：如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现△ABC是直角三角形.证明如下：
因为AB=2-1，3-2=(1，1)，
AC=-2-1，5-2=(-3，3)，
所以AB∙AC=1×-3+1×3=0.
于是AB⊥AC.
因此，△ABC是直角三角形.

设都是非零向量，，，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
.

例11 设a=(5，-7)，b=(-6，-4)，求a∙b及a，b的夹角θ（精确到1°）.
解：a∙b=5×-6+-7×-4=-30+28=-2.
因为a=52+(-7)2=74，b=(-6)2+(-4)2=52，所以用计算器计算可得
.
利用计算器中的“cos-1”键，得θ≈92°.
例12 用向量方法证明两角差的余弦公式cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ.
证明：如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则OA=(cosα，sinα)，OB=(cosβ，sinβ).
由向量数量积的坐标表示，有OA∙OB=cosαcosβ+sinαsinβ.
设OA与OB的夹角为θ，则OA∙OB=|OA|∙|OB|cosθ =cosθ.
所以cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ.
另一方面，由图（1）可知，α=2kπ+β+θ；由图（2）可知，α=2kπ+β-θ.于是α-β=2kπ±θ，k∈Z .所以cos(α-β) =cosθ.
于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.


（三）课堂练习
1. 已知向量，，则下列结论正确的是(   )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：对于A，因为，所以向量不平行，A错误；对于B，因为，所以，则，B正确；对于C， ，，C错误；对于D，，C错误；对于D，，D错误.故选B.
2. 已知，若向量与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由向量与垂直，得.
因为，所以，
即，解得.故选B.
3. 已知向量，，且，则__________.
答案：12
解析：∵，∴，解得.故答案为12.
（四） 小结作业
小结：
1. 平面向量数量积的坐标表示；
2. 用坐标表示两个平面向量的夹角；
3. 用坐标表示平面向量垂直的充要条件.
作业：
四、 板书设计
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1. 平面向量数量积的坐标表示；
2. 用坐标表示平面向量的模；
3. 用坐标表示平面向量垂直的充要条件；
4. 用坐标表示两个平面向量的夹角.