高中6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计及反思

这是一份高中6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计及反思，共4页。
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
eq \(□,\s\up4(01))把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
知识点二 平面向量加、减运算的坐标运算
1．在直角坐标平面内，以原点为起点的向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．
2．平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；应把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．
3．符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．
特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
4．(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与x轴平行的向量的纵坐标为0；与y轴平行的向量的横坐标为0.( )
(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)已知eq \(AB,\s\up16(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
(2)已知eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为( )
A．(1,8) B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
(3)若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则a＋b的坐标是( )
A．(1,1) B．(－3，－1)
C．(3,1) D．(2,0)
(4)若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量eq \(MN,\s\up16(→))＝________.
答案 (1)D (2)B (3)C (4)(－1，－4)
题型一 平面向量的正交分解及坐标表示
例1 (1)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标以及eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(AD,\s\up16(→))的坐标．
[解析] (1)由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
(2)由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得
x1＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq \f(1,2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
x2＝cs120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin120°＝eq \f(\r(3),2)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
[答案] (1)A (2)见解析
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
(1)如图，{e1，e2}是一个正交基底，且e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，则向量a的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
(2)已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \(OA,\s\up16(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°，
①求向量eq \(OA,\s\up16(→))的坐标；
②若B(eq \r(3)，－1)，求eq \(BA,\s\up16(→))的坐标．
答案 (1)A (2)见解析
解析 (1)由图可知a＝e1＋3e2，又e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
则a＝(1,3)．故选A.
(2)①设点A(x，y)，则x＝4eq \r(3)cs60°＝2eq \r(3)，
y＝4eq \r(3)sin60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，故eq \(OA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)．
②eq \(BA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7).
题型二 平面向量加、减运算的坐标表示
例2 (1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝________，eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝________；
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
[解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,5)，eq \(CA,\s\up16(→))＝(4，－1)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(－5，－4)．
∴eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝(1,5)＋(4，－1)＝(1＋4,5－1)＝(5,4)．
eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝(－5，－4)－(1,5)＝(－5－1，－4－5)＝(－6，－9)．
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
[答案] (1)(5,4) (－6，－9) (2)见解析
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行．
(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b的坐标；
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \(CM,\s\up16(→))＝eq \(CA,\s\up16(→))，eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))，求M，N及eq \(MN,\s\up16(→))的坐标．
解 (1)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)．
(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得eq \(CA,\s\up16(→))＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
eq \(CB,\s\up16(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则eq \(CM,\s\up16(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(1,8)，x1＝－2，y1＝4；
eq \(CN,\s\up16(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(6,3)，x2＝3，y2＝－1，
所以M(－2,4)，N(3，－1)，
eq \(MN,\s\up16(→))＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5).
题型三 平面向量加、减坐标运算的应用
例3 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.
[证明] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设|eq \(AD,\s\up16(→))|＝1，则|eq \(DC,\s\up16(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵eq \(ED,\s\up16(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
eq \(BC,\s\up16(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴eq \(ED,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(ED,\s\up16(→))∥eq \(BC,\s\up16(→))，即DE∥BC.
通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量．因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决．
已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)．
求msinα＋ncsα的最大值．
解 ∵四边形ABCD为平行四边形，则eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，
即(3－3，n＋1)＝(m－1,1－2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝0，,n＋1＝－1，))得m＝1，n＝－2，得msinα＋ncsα＝sinα－2csα＝eq \r(5)sin(α＋φ)，其中tanφ＝－2，
故msinα＋ncsα的最大值为eq \r(5).
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a＋b＝( )
A．(1,6) B．(5,4)
C．(1，－6) D．(－6,5)
答案 A
解析 a＋b＝(3,5)＋(－2,1)＝(3－2,5＋1)＝(1,6)．
2．已知向量eq \(OA,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up16(→))＝(－3,4)，则eq \(AB,\s\up16(→))＝( )
A．(－4,6) B．(2，－3)
C．(2,3) D．(6,4)
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)．
3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
4．在平面直角坐标系中，|a|＝2eq \r(2)，a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为135°，则a的坐标为________．
答案 (－2,2)
解析 因为|a|cs135°＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－2，|a|·sin135°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2，所以a的坐标为(－2,2)．
5．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．
解 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于∠AOx＝45°，
所以a1＝|a|cs45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
a2＝|a|sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
由已知可以求得向量b的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为120°，
所以b1＝|b|cs120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).