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2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题11.3 必修第二册综合检测3
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专题11.3 必修第二册综合检测3考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高三下·河南·开学考试）若复数，则的虚部是（ ）A．i B．2i C．1 D．2【答案】C【分析】利用复数的除法和乘法法则进行化简计算，得到的虚部.【详解】，，故虚部是1.故选：C.2．（23-24高一下·福建福州·期末）现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，则两组数据混合后，新数据的平均数，则新数据的方差，故选：C．3．（2024高一下·江苏扬州·期末）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，，所以甲、乙两人都不通关的概率为.故选：D4．（23-24高一下·上海虹口·期中）锐角三角形中，是边上的高，若，则可表示为（ ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得向量在方向上投影的数量为，进而求得，即可求解.【详解】如图所示，因为，根据向量的数量积的几何意义，可得向量在方向上投影的数量为，所以.故选：D.5．（2024·河南·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形弧长公式求出圆锥底面半径，母线长为2，由等面积法得，得解.【详解】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径r满足，解得，所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为R，则，.故选：D. 6．（2024高一上·四川达州·期末）若向量，，则向量与的夹角等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用坐标运算计算向量与的坐标，再根据向量积的定义式求解夹角的余弦值，即得结果.【详解】向量，，则，，故，,则向量与的夹角满足，，故.故选：C.7．（2024高一下·福建厦门·期中）已知，，，，，则（ ）A．14 B．34 C．26 D．24【答案】C【分析】先由已知条件求出，然后再求的值【详解】解：因为，，，，，所以，所以，，故选：C8．（2024·全国·模拟预测）在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的加法可得，再由向量的数量积运算得，由可得选项．【详解】因为，，又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，又因为，所以，且 ，所以，即，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列命题正确的是（ ）A．若复数满足，则或B．C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则【答案】CD【分析】由复数模长的几何意义可判断A；由向量加法和减法的几何意义可判断BD；根据复数范围内，两个虚数根互为共轭复数可判断C.【详解】解：对于，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数对应，故选项A错误；对于B，设所对应的向量分别为，由向量加法的几何意义可知，故选项B错误；对于，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根互为共轭复数，所以若是方程的根，则该方程的另一个根是，故选项C正确；对于D，若，则复平面内以为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确，故选：CD.10．（2024·辽宁·模拟预测）已知一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，方差为，中位数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，…，，其平均数为，方差为，中位数为m，则下列判断一定正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用平均数公式、方差公式分别可以确定新数据的平均数、方差与原平均数、方差的大小关系，因新加入数据不知与中位数大小所以无法确定新的中位数大小．【详解】∵，，∴，平均数不变，所以A选项正确；，，所以，故B错误，C正确；对于D选项，由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误．故选：AC.11．（2024·全国·模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最大值为aB．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体的体积【答案】ABD【分析】先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积、外接球的体积.结合勒洛四面体的知识对选项进行分析，从而得出正确选项.【详解】首先求得正四面体的一些结论：正四面体棱长为，是底面的中心，是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为，是高，如图．，，由得，解得，（内切球半径）．正四面体的体积为，外接球体积为．对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，故A正确；对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，易知B、O、E三点共线，且，，因此，故B正确；对于C选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图，根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面ABD时，勒洛四面体在与平面ABD平行的一个投影平面α上的正投影，当光线与平面ABD夹角不为90°时，易知截面投影均为上图所示图像在平面α上的投影，其面积必然减小.上图截面为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C错误；对于D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，故D正确.故选：ABD.【点睛】求解勒洛四面体问题的关键是理解勒洛四面体的结构、正四面体的结构特征、球的结构特征，需要很强的空间想象能力和逻辑推理能力.正四面体的外接球球心和内切球球心重合，是解题的突破口.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）实系数一元二次方程的一根为，则 .【答案】【分析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理可得另一共轭虚根,再根据韦达定理可得的值,然后相加即可得到.【详解】因为实系数一元二次方程的一根为,所以根据虚根成对定理可得,实系数一元二次方程的另一共轭虚根为,所以根据韦达定理得,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理,属于基础题.13．（2024高二上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面平面BCD，则直线AC与BD所成角正弦值为 【答案】【分析】将图形补成一个正方体，进而通过异面直线所成角的定义得出所求角，然后算出答案.【详解】根据题意，平面ABD⊥平面BCD且交于BD，而AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊥CD，进而将图形补形为正方体BDCE-AHFG，设其棱长为1，如图所示.因为BD∥CE，所以∠ACE（或其补角）为所求角，设其为 ，易知AE⊥CE，由勾股定理易得 ，所以.故答案为：.14．（23-24高二上·上海金山·期中）已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ．【答案】【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论.【详解】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为，因为，所以，又，所以，当两截面在球心的同侧时，，解得，球的表面积为；当两截面在球心的同侧时，，无解；综上，所求球的表面积为.故答案为：.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2024高一下·河南·阶段练习）已知平面向量，，且．(1)求的值；(2)若，求实数m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角公式求解作答.（2）利用向量线性运算的坐标表示，共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，，，因为，因此，解得，所以实数m的值为.16．（2024·广西·模拟预测）设的内角A、、所对的边分别为、、，且．(1)证明：；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和与差的正弦公式变形可证；（2）把代入（1）中结论，利用正弦的二倍角公式变形后，结合诱导公式、正弦函数的性质可求得，注意角范围．【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；（2）若，由（1）得，三角形中，所以，所以，又，，所以.17．（2024高一下·河南·期末）某公司加班加点生产口罩，防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．(1)求出直方图中m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）．【答案】(1)0.030(2)平均数为71，中位数为73.33【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率之和为1求得；（2）由同一组中的数据用该组区间中点值乘以频率相加得平均值，求出频率对应的值即得中位数．【详解】（1）由，得m＝0.030，所以直方图中m的值是0.030．（2）平均数为，因为，，所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得，所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．18．（2024高二·重庆江北·期中）如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点．（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）易证得平面，由线面垂直性质可得，利用线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质证得结论；（2）利用勾股定理可求得长，在中，利用面积桥可求得，进而得到；由等腰三角形三线合一可知为中点，由此确定到平面的距离；利用体积桥和三棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）垂直于圆所在平面，平面，，为圆的直径，，又平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，.（2），，，，由平面，平面知：，，，解得：，，，，，为中点，由（1）知：平面，到平面的距离为，.【点睛】方法点睛：立体几何求解三棱锥体积的问题常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.19．（2024高三上·宁夏·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，点、分别为、 中点，且.(1)证明：；(2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）先通过线面垂直得到，再结合等边三角形得到，即可证明；（2）直接取中点，再证明平行即可，证明四边形是平行四边形即可得证.【详解】（1）平面，平面，，即，又∵底面是菱形，，是等边三角形，点分别为中点，，又，平面.（2）存在点，取中点，连接，分别为中点，且，又在菱形中，且，，且，即四边形是平行四边形，，又平面，平面，∴，即在线段上存在中点，使得，此时.
专题11.3 必修第二册综合检测3考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高三下·河南·开学考试）若复数，则的虚部是（ ）A．i B．2i C．1 D．2【答案】C【分析】利用复数的除法和乘法法则进行化简计算，得到的虚部.【详解】，，故虚部是1.故选：C.2．（23-24高一下·福建福州·期末）现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，则两组数据混合后，新数据的平均数，则新数据的方差，故选：C．3．（2024高一下·江苏扬州·期末）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，，所以甲、乙两人都不通关的概率为.故选：D4．（23-24高一下·上海虹口·期中）锐角三角形中，是边上的高，若，则可表示为（ ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得向量在方向上投影的数量为，进而求得，即可求解.【详解】如图所示，因为，根据向量的数量积的几何意义，可得向量在方向上投影的数量为，所以.故选：D.5．（2024·河南·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形弧长公式求出圆锥底面半径，母线长为2，由等面积法得，得解.【详解】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径r满足，解得，所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为R，则，.故选：D. 6．（2024高一上·四川达州·期末）若向量，，则向量与的夹角等于（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用坐标运算计算向量与的坐标，再根据向量积的定义式求解夹角的余弦值，即得结果.【详解】向量，，则，，故，,则向量与的夹角满足，，故.故选：C.7．（2024高一下·福建厦门·期中）已知，，，，，则（ ）A．14 B．34 C．26 D．24【答案】C【分析】先由已知条件求出，然后再求的值【详解】解：因为，，，，，所以，所以，，故选：C8．（2024·全国·模拟预测）在四边形中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，且，若>0，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的加法可得，再由向量的数量积运算得，由可得选项．【详解】因为，，又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以，又因为，所以，且 ，所以，即，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列命题正确的是（ ）A．若复数满足，则或B．C．若是方程的一个根，则该方程的另一个根是D．在复平面内，所对应的向量分别为，其中为坐标原点，若，则【答案】CD【分析】由复数模长的几何意义可判断A；由向量加法和减法的几何意义可判断BD；根据复数范围内，两个虚数根互为共轭复数可判断C.【详解】解：对于，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数对应，故选项A错误；对于B，设所对应的向量分别为，由向量加法的几何意义可知，故选项B错误；对于，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根互为共轭复数，所以若是方程的根，则该方程的另一个根是，故选项C正确；对于D，若，则复平面内以为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加法､减法的几何意义可知，选项D正确，故选：CD.10．（2024·辽宁·模拟预测）已知一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，方差为，中位数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，…，，其平均数为，方差为，中位数为m，则下列判断一定正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用平均数公式、方差公式分别可以确定新数据的平均数、方差与原平均数、方差的大小关系，因新加入数据不知与中位数大小所以无法确定新的中位数大小．【详解】∵，，∴，平均数不变，所以A选项正确；，，所以，故B错误，C正确；对于D选项，由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误．故选：AC.11．（2024·全国·模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（ ）A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最大值为aB．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体的体积【答案】ABD【分析】先求得正四面体的外接球半径、内切球半径、正四面体的体积、外接球的体积.结合勒洛四面体的知识对选项进行分析，从而得出正确选项.【详解】首先求得正四面体的一些结论：正四面体棱长为，是底面的中心，是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为，是高，如图．，，由得，解得，（内切球半径）．正四面体的体积为，外接球体积为．对于A选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，故A正确；对于B选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心O为正四面体ABCD的中心，半径为OE，连接BE，易知B、O、E三点共线，且，，因此，故B正确；对于C选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为a，最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图，根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面ABD时，勒洛四面体在与平面ABD平行的一个投影平面α上的正投影，当光线与平面ABD夹角不为90°时，易知截面投影均为上图所示图像在平面α上的投影，其面积必然减小.上图截面为三个半径为a，圆心角为60°的扇形的面积减去两个边长为a的正三角形的面积，即，故C错误；对于D选项，勒洛四面体的体积介于正四面体ABCD的体积和正四面体ABCD的外接球的体积之间，正四面体ABCD的体积，正四面体ABCD的外接球的体积，故D正确.故选：ABD.【点睛】求解勒洛四面体问题的关键是理解勒洛四面体的结构、正四面体的结构特征、球的结构特征，需要很强的空间想象能力和逻辑推理能力.正四面体的外接球球心和内切球球心重合，是解题的突破口.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2024高三上·上海黄浦·开学考试）实系数一元二次方程的一根为，则 .【答案】【分析】根据实系数一元二次方程的虚根成对定理可得另一共轭虚根,再根据韦达定理可得的值,然后相加即可得到.【详解】因为实系数一元二次方程的一根为,所以根据虚根成对定理可得,实系数一元二次方程的另一共轭虚根为,所以根据韦达定理得,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理,属于基础题.13．（2024高二上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面平面BCD，则直线AC与BD所成角正弦值为 【答案】【分析】将图形补成一个正方体，进而通过异面直线所成角的定义得出所求角，然后算出答案.【详解】根据题意，平面ABD⊥平面BCD且交于BD，而AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，又BD⊥CD，进而将图形补形为正方体BDCE-AHFG，设其棱长为1，如图所示.因为BD∥CE，所以∠ACE（或其补角）为所求角，设其为 ，易知AE⊥CE，由勾股定理易得 ，所以.故答案为：.14．（23-24高二上·上海金山·期中）已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为 ．【答案】【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论.【详解】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为，因为，所以，又，所以，当两截面在球心的同侧时，，解得，球的表面积为；当两截面在球心的同侧时，，无解；综上，所求球的表面积为.故答案为：.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（2024高一下·河南·阶段练习）已知平面向量，，且．(1)求的值；(2)若，求实数m的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角公式求解作答.（2）利用向量线性运算的坐标表示，共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，，，因为，因此，解得，所以实数m的值为.16．（2024·广西·模拟预测）设的内角A、、所对的边分别为、、，且．(1)证明：；(2)若，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和与差的正弦公式变形可证；（2）把代入（1）中结论，利用正弦的二倍角公式变形后，结合诱导公式、正弦函数的性质可求得，注意角范围．【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；（2）若，由（1）得，三角形中，所以，所以，又，，所以.17．（2024高一下·河南·期末）某公司加班加点生产口罩，防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．(1)求出直方图中m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）．【答案】(1)0.030(2)平均数为71，中位数为73.33【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率之和为1求得；（2）由同一组中的数据用该组区间中点值乘以频率相加得平均值，求出频率对应的值即得中位数．【详解】（1）由，得m＝0.030，所以直方图中m的值是0.030．（2）平均数为，因为，，所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得，所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．18．（2024高二·重庆江北·期中）如图，为圆的直径，为圆周上异于、的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点．（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）易证得平面，由线面垂直性质可得，利用线面垂直判定定理可证得平面，由线面垂直性质证得结论；（2）利用勾股定理可求得长，在中，利用面积桥可求得，进而得到；由等腰三角形三线合一可知为中点，由此确定到平面的距离；利用体积桥和三棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）垂直于圆所在平面，平面，，为圆的直径，，又平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，平面，.（2），，，，由平面，平面知：，，，解得：，，，，，为中点，由（1）知：平面，到平面的距离为，.【点睛】方法点睛：立体几何求解三棱锥体积的问题常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.19．（2024高三上·宁夏·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，点、分别为、 中点，且.(1)证明：；(2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）先通过线面垂直得到，再结合等边三角形得到，即可证明；（2）直接取中点，再证明平行即可，证明四边形是平行四边形即可得证.【详解】（1）平面，平面，，即，又∵底面是菱形，，是等边三角形，点分别为中点，，又，平面.（2）存在点，取中点，连接，分别为中点，且，又在菱形中，且，，且，即四边形是平行四边形，，又平面，平面，∴，即在线段上存在中点，使得，此时.
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