全书要点速记学案含解析

全书要点速记

第六章　平面向量及其应用

一、平面向量的线性运算

二、向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．

三、平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

四、平面向量的数量积及坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2．

五、余弦定理及其推论

1．余弦定理

三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．

2．推论

cos A＝，cos B＝，

cos C＝．

六、正弦定理及其常见变形

1．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)．

2．常见变形

a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

sin A＝，sin B＝，sin C＝，

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，

＝2R．

第七章　复数

一、复数的有关概念及代数表示

1．复数

把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．把z＝a＋bi(a，b∈R)这一表示形式叫做复数的代数形式．

2．复数集

全体复数所构成的集合叫做复数集，即复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．

3．复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，

我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．

4．复数的分类

二、复数的几何意义

三、复数的四则运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；

(2)z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(3)＝＝＋i(z2≠0)．

对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)，z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．

第八章　立体几何初步

一、常见几何体的面积

多面体的表面积为各个面的面积的和，即展开图的面积．

圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S＝2πr(r＋l)．

圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr(r＋l)．

圆台的侧面积S侧＝π(r′＋r)l，表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．

球的表面积S＝4πR2．

其中r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长，R为球的半径．

二、常见几何体的体积

柱体的体积V＝Sh；

锥体的体积V＝Sh；

台体的体积V＝(S′＋＋S)h；

球的体积V＝πR3．

其中S′，S分别为上、下底面面积，h为高，R为球的半径．

三、平面的基本事实

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

四、空间点、直线、平面之间的位置关系

1．空间中直线与直线的位置关系

2．空间中直线与平面的位置关系

(1)直线在平面内——有无数个公共点；

(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行——没有公共点．

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．

3．空间中平面与平面的位置关系

(1)两个平面平行——没有公共点；

(2)两个平面相交——有一条公共直线．

五、空间平行关系的判定及性质

1．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行．

3．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

4．平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．

六、空间垂直关系的判定及性质

1．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．

2．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

3．平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

4．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．

第九章　统计

一、随机抽样

二、样本估计总体

三、频率分布直方图的特征

1．各个小矩形的面积和为1．

2．纵轴的含义为，矩形的面积＝组距×＝频率．

3．样本数据的平均数的估计值等于各个小矩形的面积乘该矩形底边中点横坐标之和．

4．众数为最高矩形的底边中点的横坐标．

第十章　概率

一、有限样本空间与随机事件

1．随机试验：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验．

2．样本点：把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点．

3．样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间．

4．有限样本空间：样本空间为有限集时，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

5．随机事件：把样本空间的子集称为随机事件，只包含一个样本点的事件称为基本事件．

6．必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．

7．不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．

二、事件的关系和运算

三、古典概型

1．特征

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

2．概率公式

设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．

四、概率的基本性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

推广：如果事件A1，A2，…，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)．

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

五、事件的相互独立

1．概念

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

2．性质

A与B是相互独立事件，则A与，B与，与也相互独立．

六、频率与概率

1．频率与概率的关系

(1)频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．

(2)频率是随机的，概率是确定的，可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

2．随机模拟

利用计算器或计算机软件产生随机数做模拟试验，由模拟试验得到频率来估计概率，这种用计算器或计算机软件模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法．