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空间向量与立体几何（三）
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册全册综合优秀学案设计，共32页。
空间向量与立体几何（三）
巧用向量法处理平行、垂直问题
重点
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。
2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。
3. 能用向量方法证明一些简单的空间线面的平行和垂直关系。
难点
法向量的求法
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1. 直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量。
2. 平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量，则叫做平面α的法向量。
核心知识点二：空间中平行关系和垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为，，平面α，β的法向量分别为，则
线线平行 l∥m⇔⇔，k∈R；
线面平行 l∥α⇔⇔＝0；
面面平行 α∥β⇔⇔（k∈R）。
线线垂直 l⊥m⇔⇔＝0；
线面垂直 l⊥α⇔⇔，k∈R；
面面垂直 α⊥β⇔⇔＝0。
注意：
1. 直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类。解题时，可以选取坐标最简的方向向量。
2. 一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线。
3. 因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系。
4. 用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键。
类型一：用空间向量证明平行问题
例题1 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点。求证：平面AMN∥平面EFDB。
【解析】如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为a，
则A（a，0，0），A1（a，0，a），
D1（0，0，a），B1（a，a，a），
B（a，a，0），C1（0，a，a）。
∴N（，0，a），M（a，，a），E（，a，a），F（0，，a），
∴＝（－，0，a），＝（，，0），
＝（a，a，0），＝（0，，a）。
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
＝（x1，y1，z1）和＝（x2，y2，z2），
则
∴
∴y1＝－x1＝－2z1。取z1＝1，
∴平面AMN的一个法向量为＝（2，－2，1）。
同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2。
令z2＝1，
∴平面EFDB的一个法向量为＝（2，－2，1）。
∵＝，∴∥，
∴平面AMN∥平面EFDB。
总结提升：证明面面平行问题可由以下方法去证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行。本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法。
类型二：用空间向量证明垂直问题
例题2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点。
求证：EF⊥平面B1AC。
【解析】法一：设，，，
则
∵，
∴
。
∴⊥，即EF⊥AB1。同理，EF⊥B1C。
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）。
∴＝（1，1，2）－（2，2，1）＝（－1，－1，1），
＝（2，2，2）－（2，0，0）＝（0，2，2），
＝（0，2，0）－（2，0，0）＝（－2，2，0）。
∴·＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
·＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
∴⊥，⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC。
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC。
法三：同法二得＝（0，2，2），＝（－2，2，0），＝（－1，－1，1）。
设平面B1AC的法向量＝（x，y，z），
则·＝0，·＝0，
即。取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴＝（1，1，－1），
∴＝－，
∴∥，
∴EF⊥平面B1AC。
总结提升：法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明。法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。
1. 利用向量法证明平行问题
（1）建立恰当的坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键。
（2）证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可。这样就把几何的证明问题转化为向量运算。
2. 利用向量法证明垂直问题
（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算。其中灵活建系是解题的关键。
（2）用向量法证明垂直的方法
a. 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零。
b. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示。
c. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知平面内的两个向量＝（2，3，1），＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（ ）
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
2. 设直线l1的方向向量为＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（ ）
A. 1 B. －2
C. －3 D. 3
3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1。
这四个结论中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
4. 已知直线l的方向向量为＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。
5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥。其中正确的是________。
三、解答题
7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。
1. 答案：C
解析：显然与不平行，设平面的法向量为＝（x，y，z），
则有⇒
令z＝1，得x＝－2，y＝1。
∴（－2，1，1）。
2. 答案：D
解析：l1⊥l2⇔⊥，
∴2×2＋1×2＋（－2）×m＝0，∴m＝3。
3. 答案：C
解析：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确。
又B1Q与D1P不平行，故②不正确。
4. 答案：l∥α或l⊂α
解析：∵＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，
∴，∴l∥α或l⊂α。
5. 答案：或
解析：由题意得⊥。
∴cos x·（2cos x＋1）－2cos x＝0。
∴2cos2x－cos x＝0。∴cos x＝0或cos x＝。
又x∈[0，π]，∴x＝或x＝。
6. 答案：①②③
解析：由·＝－2－2＋4＝0，知AP⊥AB，故①正确；
由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；
由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，
，显然④不正确。
7. 解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，
则O（1，1，0），A（2，0，0），P（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2）。
再设Q（0，2，c），
∴＝（1，－1，0），
＝（－1，－1，1），
＝（－2，0，c），
＝（－2，－2，2）。
设平面PAO的法向量为
＝（x，y，z），
则⇒
令x＝1，则y＝1，z＝2。
∴平面PAO的一个法向量为＝（1，1，2）。
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量。
∴·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO。
8. 证明：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为2，
则O（1，1，0），A1（2，0，2），G（0，2，1），
B（2，2，0），D（0，0，0），
∴＝（1，－1，2），＝（1，1，0），＝（－2，0，1）。
而·＝1－1＋0＝0，
·＝－2＋0＋2＝0，
∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG。
而OB∩BG＝B，
∴OA1⊥平面GBD。
巧用向量法求空间距离
重点
点到平面距离的求法
难点
理解各种距离之间的转化思路
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点：点到平面距离的向量求法
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为，过点P作平面a的垂线PO，记PA和平面a所成的角为q，则点P到平面的距离
说明：（1）运用向量法求解空间距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对应的向量，然后计算这个向量的模。
（2）对空间中的两种距离的认识
a. 面面距。与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线。公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离。
b. 空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离都可转化为点面距。
类型一：求空间的两点间距离
例题1 已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D.
【答案】D
【解析】方法一：建立如图所示的坐标系，据题意知，A（2，0，0），D（0，2，2），
方法二：
方法三：如图所示，把AB，BC，CD看成为一个正方体的三条棱，由勾股定理得：
总结提升：求空间两点间距离的方法
类型二：求空间点到直线距离
例题2 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS=AB=AC=2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为____________。
【答案】
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），
∴在上的投影长为
故D到BC的距离为
总结提升：
1. 点到直线距离的求法
如图，PB⊥l，垂足为B，则PB的长度即为P到l的距离，在不易确定垂足B的情况下，可在l上另取一点A，则AB为在上的投影，故
在Rt△PAB中，有即P到l的距离d=
2. 因此求点P到直线l的距离可分以下几步完成：
（1）在直线l上取一点A，同时确定直线l的方向向量，并求
（2）计算直线上点A与已知点P对应的向量
（3）计算在的投影
（4）由公式 求距离。
类型三：求空间点、直线、平面到平面距离
例题3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
（1）求B1到面A1BE的距离；
（2）求D1C到面A1BE的距离；
（3）求面A1DB与面D1CB1的距离.
【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），B1（1，1，1），。
，设为面A1BE的法向量，则
即即取x=1，得平面A1BE的一个法向量。
。
（2）∵D1C∥面A1BE，∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离，
仿上法求得D1到平面A1BE的距离。
（3）∵面D1CB1∥面A1BD，∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离。
易得平面A1BD的一法向量，且。D1到平面A1BD的距离
。
总结提升：点到平面的距离的三种求法
（1）定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后将该线段放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离。
（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高，利用三棱锥转化底面求体积，从而求得点到平面的距离。
（3）向量法：这是我们常用的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找到从该点出发到平面的任意一条斜线段所对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离。
1. 利用法向量来解决立体几何题目，最大的优点就是不用像在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。
2. 防范措施：（1）提高运算能力
应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键。
（2）转化思想的应用
在求空间的各种距离时，要有转化的意识，求解的过程往往就是转化的过程，如本例中利用向量法求点面距等均体现了转化的思想。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知 则点A与G之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知A（1，0，0），B（1，-2，3），C（-1，2，1），则点A到直线BC的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
4. 已知直三棱柱的各棱长都是2，且AB⊥AC，则点A1到直线BC1的距离为______。
5. 空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A（0，1，3），B（2，0，2），C（1，-1，2），D（-1，3，1），E，F分别是AB与CD的中点，则EF的长为______。
三、解答题
6. 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点。
（1）证明：DE∥平面PFB；
（2）求点E到平面PFB的距离。
1. 答案：A
解析：
2. 答案：B
解析：据条件知
在向量方向上的投影为
∴点A到直线BC的距离为
3. 答案：D
解析：设所求距离为h。
因为
在△B1EF中，EF边上的高为
而E到平面B1C1F的距离EB=1。
4. 答案：
解析：建系如图，则B（2，0，0），A1（0，0，2），C1（0，2，2）
上的投影为
∴点A1到直线的距离为
5. 答案：
解析：易知故
6. 解：（1）以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P（0，0，2），F（1，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1）。
＝（－1，0，2），
＝（1，2，0），＝（0，1，1），
∴＝＋，
∴∥平面PFB。
又∵D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB。
（2）∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离。
设平面PFB的一个法向量＝（x，y，z），
则
令x＝2，得y＝－1，z＝1。
∴＝（2，－1，1），＝（－1，0，0），
∴点D到平面PFB的距离，
∴点E到平面PFB的距离为。
巧用向量法求空间角
重点
1. 能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；
2. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
难点
向量法在立体几何中求空间的夹角的应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
1. 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为，则cos θ＝|cos〈〉|
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos〈，〉|
二面角
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量为，，则
|cos θ|＝|cos〈，〉|
[0，π]
类型一：求异面直线所成角
例题1 如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ。当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值。
【解析】AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0）。
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V（0，0，。
所以＝（－2，0，0），＝（1，1，）。
所以cos〈 ， 〉＝
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为。
总结提升：利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是（0，]，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|。
类型二：求线面角
例题2 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（－a，，a）。
法一：取A1B1的中点M，则M（0，，a）。连结AM，MC1，有＝（－a，0，0），＝（0，a，0），＝（0，0，a）。
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即MC1⊥AB，MC1⊥AA1。
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1。
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角。
因为＝（－a，，a），＝（0，，a），
∴·＝0＋＋2a2＝，
||＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝。
∴〈，〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。
法二：＝（0，a，0），＝（0，0，a），
＝（－a，，a）。
设侧面ABB1A1的法向量＝（λ，x，y），
∴·＝0且·＝0。
∴ax＝0且ay＝0。
∴x＝y＝0。故＝（λ，0，0）。
∵＝（－a，，a），
∴cos〈，〉＝
∴|cos〈，〉|＝。
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。
总结提升：求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）。
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量。利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）求平面的法向量；
（4）计算：设线面角为θ，则sinθ＝|cos<，>|
类型三：求二面角
例题3 PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝。求二面角A－PB－C的余弦值。
【解析】法一：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴＝（0，0，1），＝（，1，0）。
设平面PAB的法向量为＝（x1，y1，z1），由
得
令x1＝1，则＝（1，－，0）。
＝（0，－1，1），＝（，0，0）。
设平面PBC的法向量为＝（x2，y2，z2），
由，得
令z2＝1，则＝（0，1，1）。
∴cos〈，〉＝＝＝－。
∵所求二面角为锐角，
∴二面角A－PB－C的余弦值为。
法二：如图所示，取PB的中点D，连结CD。
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC。
∴PC＝＝。
∵PC＝BC＝，∴CD⊥PB。
作AE⊥PB于E，
那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于与的夹角θ。
∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC。
∴PB＝＝2。
∴PD＝1，PE＝＝。
∴DE＝PD－PE＝。
又∵AE＝＝，CD＝1，AC＝1，
＝＋＋，
且⊥，⊥，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos（π－θ），
即1＝＋＋1－2··1·cos θ，解得cos θ＝，
故二面角A－PB－C的余弦值为。
总结提升：利用向量法求二面角通常有以下两种方法：
（1）若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角，如图①。
（2）设，分别是平面α，β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是两个平面夹角的大小，如图②。
此方法的解题步骤如下：
①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；
②求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量，；
③计算：求与所成锐角θ，；
④定值：若二面角为锐角，则为角 θ；若二面角为钝角，则为π-θ
1. 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。
2. 直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|，不要漏了绝对值符号。
3. 利用两平面的法向量求出cos〈〉后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（ ）
A. 120° B. 60°
C. 30° D. 60°或30°
2. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为（ ）
A. 0 B.
C. － D.
3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（ ）
A. － B.
C. － D.
二、填空题
4. 平面α的法向量为（1，0，－1），平面β的法向量为（0，－1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为________。
5. 已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点。则直线A′C与DE所成角的余弦值为________。
三、解答题
6.
如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°。
（1）求DP与CC′所成角的大小；
（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小。
1. 答案：C
解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°。
2. 答案：A
解析：
建立如图坐标系，则D1（0，0，3），B（2，2，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），
∴＝（－2，－2，3），
＝（－2，2，0）。
∴cos〈，〉＝＝0。
∴〈，〉＝90°，其余弦值为0。
3. 答案：B
解析：
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）。
∴＝（－2，－2，0），＝（0，0，2），＝（－2，0，1）。
设平面B1BD的法向量为＝（x，y，z）。
∵⊥，⊥，
∴∴
令y＝1，则＝（－1，1，0）。
∴cos〈，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈，〉|＝。
4. 答案：4
解析：＝（4，5，3），点P到平面α的距离为＝＝＝4。
5. 答案：或
解析：设＝（1，0，－1），＝（0，－1，1），
则cos θ＝±|cos〈，〉|＝±||＝±。
∴θ＝或。
6. 答案：
解析：
如图所示建立空间直角坐标系，则A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），E，＝（a，a，－a），＝，∴
10. 解：
如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，
则＝（1，0，0），＝（0，0，1），连接BD、B′D′。
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H。
设＝（m，m，1）（m>0），由已知〈，〉＝60°，
又由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝，解得m＝。所以＝（，，1）。
（1）因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°。
（2）平面AA′D′D的一个法向量是＝（0，1，0）。
因为cos〈，〉＝＝。
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°。
空间向量与立体几何（三）
巧用向量法处理平行、垂直问题
重点
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。
2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。
3. 能用向量方法证明一些简单的空间线面的平行和垂直关系。
难点
法向量的求法
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1. 直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量。
2. 平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量，则叫做平面α的法向量。
核心知识点二：空间中平行关系和垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为，，平面α，β的法向量分别为，则
线线平行 l∥m⇔⇔，k∈R；
线面平行 l∥α⇔⇔＝0；
面面平行 α∥β⇔⇔（k∈R）。
线线垂直 l⊥m⇔⇔＝0；
线面垂直 l⊥α⇔⇔，k∈R；
面面垂直 α⊥β⇔⇔＝0。
注意：
1. 直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类。解题时，可以选取坐标最简的方向向量。
2. 一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线。
3. 因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系。
4. 用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键。
类型一：用空间向量证明平行问题
例题1 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点。求证：平面AMN∥平面EFDB。
【解析】如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为a，
则A（a，0，0），A1（a，0，a），
D1（0，0，a），B1（a，a，a），
B（a，a，0），C1（0，a，a）。
∴N（，0，a），M（a，，a），E（，a，a），F（0，，a），
∴＝（－，0，a），＝（，，0），
＝（a，a，0），＝（0，，a）。
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
＝（x1，y1，z1）和＝（x2，y2，z2），
则
∴
∴y1＝－x1＝－2z1。取z1＝1，
∴平面AMN的一个法向量为＝（2，－2，1）。
同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2。
令z2＝1，
∴平面EFDB的一个法向量为＝（2，－2，1）。
∵＝，∴∥，
∴平面AMN∥平面EFDB。
总结提升：证明面面平行问题可由以下方法去证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行。本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法。
类型二：用空间向量证明垂直问题
例题2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点。
求证：EF⊥平面B1AC。
【解析】法一：设，，，
则
∵，
∴
。
∴⊥，即EF⊥AB1。同理，EF⊥B1C。
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）。
∴＝（1，1，2）－（2，2，1）＝（－1，－1，1），
＝（2，2，2）－（2，0，0）＝（0，2，2），
＝（0，2，0）－（2，0，0）＝（－2，2，0）。
∴·＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
·＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
∴⊥，⊥，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC。
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC。
法三：同法二得＝（0，2，2），＝（－2，2，0），＝（－1，－1，1）。
设平面B1AC的法向量＝（x，y，z），
则·＝0，·＝0，
即。取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴＝（1，1，－1），
∴＝－，
∴∥，
∴EF⊥平面B1AC。
总结提升：法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明。法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。
1. 利用向量法证明平行问题
（1）建立恰当的坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键。
（2）证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可。这样就把几何的证明问题转化为向量运算。
2. 利用向量法证明垂直问题
（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算。其中灵活建系是解题的关键。
（2）用向量法证明垂直的方法
a. 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零。
b. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示。
c. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知平面内的两个向量＝（2，3，1），＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（ ）
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
2. 设直线l1的方向向量为＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（ ）
A. 1 B. －2
C. －3 D. 3
3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1。
这四个结论中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
4. 已知直线l的方向向量为＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。
5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥。其中正确的是________。
三、解答题
7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。
1. 答案：C
解析：显然与不平行，设平面的法向量为＝（x，y，z），
则有⇒
令z＝1，得x＝－2，y＝1。
∴（－2，1，1）。
2. 答案：D
解析：l1⊥l2⇔⊥，
∴2×2＋1×2＋（－2）×m＝0，∴m＝3。
3. 答案：C
解析：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确。
又B1Q与D1P不平行，故②不正确。
4. 答案：l∥α或l⊂α
解析：∵＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，
∴，∴l∥α或l⊂α。
5. 答案：或
解析：由题意得⊥。
∴cos x·（2cos x＋1）－2cos x＝0。
∴2cos2x－cos x＝0。∴cos x＝0或cos x＝。
又x∈[0，π]，∴x＝或x＝。
6. 答案：①②③
解析：由·＝－2－2＋4＝0，知AP⊥AB，故①正确；
由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；
由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，
，显然④不正确。
7. 解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，
则O（1，1，0），A（2，0，0），P（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2）。
再设Q（0，2，c），
∴＝（1，－1，0），
＝（－1，－1，1），
＝（－2，0，c），
＝（－2，－2，2）。
设平面PAO的法向量为
＝（x，y，z），
则⇒
令x＝1，则y＝1，z＝2。
∴平面PAO的一个法向量为＝（1，1，2）。
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量。
∴·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO。
8. 证明：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为2，
则O（1，1，0），A1（2，0，2），G（0，2，1），
B（2，2，0），D（0，0，0），
∴＝（1，－1，2），＝（1，1，0），＝（－2，0，1）。
而·＝1－1＋0＝0，
·＝－2＋0＋2＝0，
∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG。
而OB∩BG＝B，
∴OA1⊥平面GBD。
巧用向量法求空间距离
重点
点到平面距离的求法
难点
理解各种距离之间的转化思路
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点：点到平面距离的向量求法
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为，过点P作平面a的垂线PO，记PA和平面a所成的角为q，则点P到平面的距离
说明：（1）运用向量法求解空间距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对应的向量，然后计算这个向量的模。
（2）对空间中的两种距离的认识
a. 面面距。与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线。公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离。
b. 空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离都可转化为点面距。
类型一：求空间的两点间距离
例题1 已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D.
【答案】D
【解析】方法一：建立如图所示的坐标系，据题意知，A（2，0，0），D（0，2，2），
方法二：
方法三：如图所示，把AB，BC，CD看成为一个正方体的三条棱，由勾股定理得：
总结提升：求空间两点间距离的方法
类型二：求空间点到直线距离
例题2 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS=AB=AC=2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为____________。
【答案】
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），
∴在上的投影长为
故D到BC的距离为
总结提升：
1. 点到直线距离的求法
如图，PB⊥l，垂足为B，则PB的长度即为P到l的距离，在不易确定垂足B的情况下，可在l上另取一点A，则AB为在上的投影，故
在Rt△PAB中，有即P到l的距离d=
2. 因此求点P到直线l的距离可分以下几步完成：
（1）在直线l上取一点A，同时确定直线l的方向向量，并求
（2）计算直线上点A与已知点P对应的向量
（3）计算在的投影
（4）由公式 求距离。
类型三：求空间点、直线、平面到平面距离
例题3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
（1）求B1到面A1BE的距离；
（2）求D1C到面A1BE的距离；
（3）求面A1DB与面D1CB1的距离.
【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），B1（1，1，1），。
，设为面A1BE的法向量，则
即即取x=1，得平面A1BE的一个法向量。
。
（2）∵D1C∥面A1BE，∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离，
仿上法求得D1到平面A1BE的距离。
（3）∵面D1CB1∥面A1BD，∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离。
易得平面A1BD的一法向量，且。D1到平面A1BD的距离
。
总结提升：点到平面的距离的三种求法
（1）定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后将该线段放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离。
（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高，利用三棱锥转化底面求体积，从而求得点到平面的距离。
（3）向量法：这是我们常用的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找到从该点出发到平面的任意一条斜线段所对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离。
1. 利用法向量来解决立体几何题目，最大的优点就是不用像在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。
2. 防范措施：（1）提高运算能力
应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键。
（2）转化思想的应用
在求空间的各种距离时，要有转化的意识，求解的过程往往就是转化的过程，如本例中利用向量法求点面距等均体现了转化的思想。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知 则点A与G之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知A（1，0，0），B（1，-2，3），C（-1，2，1），则点A到直线BC的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
4. 已知直三棱柱的各棱长都是2，且AB⊥AC，则点A1到直线BC1的距离为______。
5. 空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A（0，1，3），B（2，0，2），C（1，-1，2），D（-1，3，1），E，F分别是AB与CD的中点，则EF的长为______。
三、解答题
6. 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点。
（1）证明：DE∥平面PFB；
（2）求点E到平面PFB的距离。
1. 答案：A
解析：
2. 答案：B
解析：据条件知
在向量方向上的投影为
∴点A到直线BC的距离为
3. 答案：D
解析：设所求距离为h。
因为
在△B1EF中，EF边上的高为
而E到平面B1C1F的距离EB=1。
4. 答案：
解析：建系如图，则B（2，0，0），A1（0，0，2），C1（0，2，2）
上的投影为
∴点A1到直线的距离为
5. 答案：
解析：易知故
6. 解：（1）以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P（0，0，2），F（1，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1）。
＝（－1，0，2），
＝（1，2，0），＝（0，1，1），
∴＝＋，
∴∥平面PFB。
又∵D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB。
（2）∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离。
设平面PFB的一个法向量＝（x，y，z），
则
令x＝2，得y＝－1，z＝1。
∴＝（2，－1，1），＝（－1，0，0），
∴点D到平面PFB的距离，
∴点E到平面PFB的距离为。
巧用向量法求空间角
重点
1. 能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；
2. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
难点
向量法在立体几何中求空间的夹角的应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
1. 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为，则cos θ＝|cos〈〉|
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos〈，〉|
二面角
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量为，，则
|cos θ|＝|cos〈，〉|
[0，π]
类型一：求异面直线所成角
例题1 如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ。当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值。
【解析】AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0）。
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V（0，0，。
所以＝（－2，0，0），＝（1，1，）。
所以cos〈 ， 〉＝
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为。
总结提升：利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是（0，]，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|。
类型二：求线面角
例题2 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（－a，，a）。
法一：取A1B1的中点M，则M（0，，a）。连结AM，MC1，有＝（－a，0，0），＝（0，a，0），＝（0，0，a）。
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即MC1⊥AB，MC1⊥AA1。
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1。
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角。
因为＝（－a，，a），＝（0，，a），
∴·＝0＋＋2a2＝，
||＝a，
||＝＝a，
∴cos〈，〉＝＝。
∴〈，〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。
法二：＝（0，a，0），＝（0，0，a），
＝（－a，，a）。
设侧面ABB1A1的法向量＝（λ，x，y），
∴·＝0且·＝0。
∴ax＝0且ay＝0。
∴x＝y＝0。故＝（λ，0，0）。
∵＝（－a，，a），
∴cos〈，〉＝
∴|cos〈，〉|＝。
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。
总结提升：求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）。
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量。利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量；
（3）求平面的法向量；
（4）计算：设线面角为θ，则sinθ＝|cos<，>|
类型三：求二面角
例题3 PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝。求二面角A－PB－C的余弦值。
【解析】法一：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴＝（0，0，1），＝（，1，0）。
设平面PAB的法向量为＝（x1，y1，z1），由
得
令x1＝1，则＝（1，－，0）。
＝（0，－1，1），＝（，0，0）。
设平面PBC的法向量为＝（x2，y2，z2），
由，得
令z2＝1，则＝（0，1，1）。
∴cos〈，〉＝＝＝－。
∵所求二面角为锐角，
∴二面角A－PB－C的余弦值为。
法二：如图所示，取PB的中点D，连结CD。
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC。
∴PC＝＝。
∵PC＝BC＝，∴CD⊥PB。
作AE⊥PB于E，
那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于与的夹角θ。
∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC。
∴PB＝＝2。
∴PD＝1，PE＝＝。
∴DE＝PD－PE＝。
又∵AE＝＝，CD＝1，AC＝1，
＝＋＋，
且⊥，⊥，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos（π－θ），
即1＝＋＋1－2··1·cos θ，解得cos θ＝，
故二面角A－PB－C的余弦值为。
总结提升：利用向量法求二面角通常有以下两种方法：
（1）若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角，如图①。
（2）设，分别是平面α，β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是两个平面夹角的大小，如图②。
此方法的解题步骤如下：
①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；
②求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量，；
③计算：求与所成锐角θ，；
④定值：若二面角为锐角，则为角 θ；若二面角为钝角，则为π-θ
1. 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。
2. 直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|，不要漏了绝对值符号。
3. 利用两平面的法向量求出cos〈〉后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（ ）
A. 120° B. 60°
C. 30° D. 60°或30°
2. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为（ ）
A. 0 B.
C. － D.
3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（ ）
A. － B.
C. － D.
二、填空题
4. 平面α的法向量为（1，0，－1），平面β的法向量为（0，－1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为________。
5. 已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点。则直线A′C与DE所成角的余弦值为________。
三、解答题
6.
如图所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°。
（1）求DP与CC′所成角的大小；
（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小。
1. 答案：C
解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°。
2. 答案：A
解析：
建立如图坐标系，则D1（0，0，3），B（2，2，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），
∴＝（－2，－2，3），
＝（－2，2，0）。
∴cos〈，〉＝＝0。
∴〈，〉＝90°，其余弦值为0。
3. 答案：B
解析：
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）。
∴＝（－2，－2，0），＝（0，0，2），＝（－2，0，1）。
设平面B1BD的法向量为＝（x，y，z）。
∵⊥，⊥，
∴∴
令y＝1，则＝（－1，1，0）。
∴cos〈，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈，〉|＝。
4. 答案：4
解析：＝（4，5，3），点P到平面α的距离为＝＝＝4。
5. 答案：或
解析：设＝（1，0，－1），＝（0，－1，1），
则cos θ＝±|cos〈，〉|＝±||＝±。
∴θ＝或。
6. 答案：
解析：
如图所示建立空间直角坐标系，则A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），E，＝（a，a，－a），＝，∴
10. 解：
如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，
则＝（1，0，0），＝（0，0，1），连接BD、B′D′。
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H。
设＝（m，m，1）（m>0），由已知〈，〉＝60°，
又由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝，解得m＝。所以＝（，，1）。
（1）因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°。
（2）平面AA′D′D的一个法向量是＝（0，1，0）。
因为cos〈，〉＝＝。
所以〈，〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°。
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