2023版新教材高中数学本册素养测评卷新人教A版必修第二册

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这是一份数学必修第二册全册综合同步测试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，设复数z满足(3＋4i)z＝5，则复数z所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列说法正确的是( )
A．投掷一枚硬币1 000次，一定有500次“正面朝上”
B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式
D．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5
3．袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌均匀后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024 234 213 012 034 125 035 345 134 304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
4．已知某圆锥的侧面积为 eq \r(5) π，该圆锥侧面的展开图是圆心角为 eq \f(2\r(5)π,5) 的扇形，则该圆锥的体积为( )
A． eq \f(2π,3) B． eq \f(4π,3) C．2πD． eq \f(8π,3)
5．已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则最大的边c的取值范围是( )
A．c>5 B．56．设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是( )
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α B．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
7．将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，设M＝“第一次出现奇数点”，N＝“第二次出现偶数点”，则M与N( )
A．互斥但不对立 B．相互对立 C．相互独立 D．独立且互斥
8．在△ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，点D是线段AF(不含端点)内的任意一点， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AE,\s\up6(→)) ，则( )
A．m∈(0，1) B．n∈(0，2) C．n＝2m D．m＋n＝1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是( )
A．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体能健康测试，则应抽取男生6人
B．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6
C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2
D．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则命中环数的标准差为2
10．在△ABC中，下列说法正确的是( )
A．与 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线的单位向量为± eq \f(\(AB,\s\up6(→)),｜\(AB,\s\up6(→))｜)
B． eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→))
C．若 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) <0，则△ABC为钝角三角形
D．若△ABC是等边三角形，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 的夹角为60°
11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列选项中说法正确的是( )
A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60°
C．二面角A1BCD的平面角为45° D．AC1与平面ABCD所成的角为45°
12．设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b－a＝2a cs C，则下列结论正确的是( )
A．A＝ eq \f(C,2)
B．A的取值范围为(0， eq \f(π,4) )
C．sin C的取值范围为(0，1)
D． eq \f(c,a) 的取值范围为( eq \r(2) ， eq \r(3) )
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝(m2－4)＋(m2－m－2)i(m∈R)为纯虚数，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝________．
14．甲、乙、丙三名运动员的投篮命中率分别为0.8、0.6和0.5，现甲、乙、丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率为________．
15．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))的最小值为________．
16．如图，四棱台ABCDA1B1C1D1上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且 eq \f(A1B1,AB)＝ eq \f(1,2).设E、F、G分别是棱AB、BC、C1D1的中点，过E、F、G的平面与AA1交于点H，则 eq \f(AH,AA1)值为________；若四棱台ABCDA1B1C1D1的高为2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题10分)已知向量a＝(1，－2).
(1)若向量b＝(m，3)，且a⊥b，求与b同方向的单位向量；
(2)若向量b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝1，且(a－2b)·(2a＋b)＝3，求a与b夹角的余弦值．
18．(本小题12分)在某中学举行的电脑知识竞赛中，随机抽取若干个学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是8.
(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图，求抽取了多少个学生成绩？
(2)在第三和第五小组的学生成绩中随机抽取2个，求第五小组恰好没有被抽中的概率．
19．(本小题12分)在四棱锥VABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC⊥平面VAB，VA⊥VB，设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.
(1)写出图中与l平行的直线，并证明；
(2)求证：平面VAD⊥平面VBC.
20．(本小题12分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知________．
在①2cs 2C－8cs (A＋B)＋5＝0，②sin 2A＋sin 2B＋sin A sin B＝sin 2C这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题．
(1)求C的大小；
(2)若△ABC的面积为 eq \r(3)，且c＝ eq \r(14)，求△ABC的周长．
21．(本小题12分)甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响．设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为 eq \f(1,2)，乙得5分的概率为 eq \f(1,6).
(1)求p，q的值；
(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率．
22．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3.
(1)设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
(2)求证：A1C⊥BC1；
(3)若A1C与平面BCC1B1所成的角为30°，求三棱锥A1ABC内切球的表面积S.
本册素养测评卷
1．答案：D
解析：设复数z的代数形式为z＝a＋bi，
∵(3＋4i)z＝5，∴(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i＝5，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a－4b＝5,4a＋3b＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,5),b＝－\f(4,5))) ，∴z＝ eq \f(3,5) － eq \f(4,5) i，
∴复数z所对应的点为( eq \f(3,5) ，－ eq \f(4,5) )，在第四象限．
故选D.
2．答案：B
解析：对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；
对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；
对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；
对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故D错误．
故选B.
3．答案：A
解析：摸到三个球都是蓝球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为 eq \f(2,10) ＝0.2.
故选A.
4．答案：A
解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，由 eq \f(1,2) × eq \f(2\r(5)π,5) l2＝ eq \r(5) π，得l＝ eq \r(5) .
因为2πr＝ eq \f(2\r(5)π,5) × eq \r(5) ，所以r＝1，所以该圆锥的体积为 eq \f(1,3) ×π× eq \r(5－1) ＝ eq \f(2π,3) .
故选A.
5．答案：B
解析：由题意，cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) <0，故c2>a2＋b2＝9＋16＝25，故c>5，又三角形两边之和大于第三边，故c<3＋4，故5故选B.
6．答案：C
解析：对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；
对于B，若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β或α，β相交，故B错误；
对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确；
对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，当n⊄β时，n不一定垂直于α，
故D错误．
故选C.
7．答案：C
解析：掷一枚质地均匀的骰子两次，出现的可能的情况共有36种，
事件M包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)共18种，
事件N包含(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18种，
事件MN包含(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9种，所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足，
由于P(M)＝ eq \f(18,36) ＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(18,36) ＝ eq \f(1,2) ，P(MN)＝ eq \f(9,36) ＝ eq \f(1,4) ，
所以P(MN)＝P(M)P(N)，所以M与N的关系为相互独立．
故选C.
8．答案：C
解析：因为点D是线段AF(不含端点)内的任意一点，
所以可设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AF,\s\up6(→)) (0<λ<1)，
因为E，F分别为AC，BC的中点，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(λ,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AE,\s\up6(→)) ，又 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋n eq \(AE,\s\up6(→)) ，
所以m＝ eq \f(λ,2) ∈(0， eq \f(1,2) )，n＝λ∈(0，1)，n＝2m，m＋n＝ eq \f(3,2) λ，
所以A，B，D错误，C正确．
故选C.
9．答案：AD
解析：对于A，男生应抽取10× eq \f(30,30＋20) ＝6人，故A正确；
对于B，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，
但是无论掷硬币多少次，再一次掷硬币，硬币正面朝上的概率均0.5，故B错误；
对于C，这组数据从小到大排列依次为1、2、2、2、3、3、3、4、5、6，
因为10×80%＝8，所以80%分位数为 eq \f(4＋5,2) ＝4.5，故C错误；
对于D，命中环数的平均数为 eq \(x,\s\up6(－)) ＝ eq \f(1,10) (7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，
命中环数的方差为s2＝ eq \f(1,10) [(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，
所以命中环数的标准差为s＝2，故D正确．
故选AD.
10．答案：AC
解析：对于A，与 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线的单位向量为± eq \f(\(AB,\s\up6(→)),｜\(AB,\s\up6(→))｜) ，故A正确；
对于B， eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ，故B错误；
对于C， eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))) cs A<0，所以cs A<0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若△ABC是等边三角形，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 的夹角为120°，故D错误．
故选AC.
11．答案：ABC
解析：对于A，连接AC，由题意，则AC⊥BD.∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；
对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角，∵△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；
对于C，∵BC⊥平面A1ABB1, A1B⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥A1B.∵AB⊥BC，
∴∠ABA1是二面角A1BCD的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；
对于D，∵C1C⊥平面ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误.
故选ABC.
12．答案：AD
解析：因为b－a＝2a cs C，
所以sin B－sin A＝2sin A cs C，
则sin (A＋C)－sin A＝2sin A cs C，
即sin A cs C＋cs A sin C－sin A＝2sin A cs C，
则cs A sin C－sin A cs C＝sin (C－A)＝sin A，
因为A，B，C∈(0， eq \f(π,2) )，所以C－A∈(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )，
所以C－A＝A，所以C＝2A，即A＝ eq \f(C,2) ，故A正确；
由锐角△ABC得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0即A的取值范围为( eq \f(π,6) ， eq \f(π,4) )，故B错误；
则C＝2A∈( eq \f(π,3) ， eq \f(π,2) )，所以sin C∈( eq \f(\r(3),2) ，1)，故C错误；
eq \f(c,a) ＝ eq \f(sin C,sin A) ＝ eq \f(sin 2A,sin A) ＝2cs A∈( eq \r(2) ， eq \r(3) )，故D正确．
故选AD.
13．答案：4
解析：因为复数z为纯虚数，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－4＝0，,m2－m－2≠0，))
解得m＝－2.
所以z＝4i，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z)) ＝4.
14．答案：0.7
解析：记“至少有两人命中”为事件A，
则P(A)＝0.2×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.8×0.6×0.5＋0.8×0.6×0.5＝0.7.
15．答案：－1
解析：设M为AB的中点，
eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) ＝( eq \(PM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MA,\s\up6(→)) )·( eq \(PM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＝( eq \(PM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MA,\s\up6(→)) )·( eq \(PM,\s\up6(→)) － eq \(MA,\s\up6(→)) )＝ eq \(PM,\s\up6(→)) 2－ eq \(MA,\s\up6(→)) 2＝ eq \(PM,\s\up6(→)) 2－1≥－1.
当且仅当点P为线段AB的中点时，等号成立，故 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PB,\s\up6(→)) 的最小值为－1.
16．答案： eq \f(2,3) eq \f(49π,2)
解析：如图连接FE，并延长交DA延长线于M，设A1D1的中点为P，连接GP，AC，
则PG∥A1C1，而由题意可知A1C1∥AC ，又EF∥AC ，故PG∥EF ，
故P∈平面EFG，而M∈平面EFG，故连接PM，交AA1 于H，
H点即为过E、F、G的平面与AA1的交点，
设Q为AD中点，连接FQ，则FQ∥AB，FQ＝AB ，因为E为AB中点，
故AE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) FQ ，故AM＝AQ＝ eq \f(1,2) AD ，
因为A1P∥AD，∴A1P∥AM ，则 eq \f(A1H,AH) ＝ eq \f(A1P,AM) ＝ eq \f(\f(1,2)A1D1,\f(1,2)AD) ＝ eq \f(1,2) ，
所以 eq \f(AH,AA1) ＝ eq \f(2,3) ；
设四棱台上底面棱长为a，则下底面棱长为2a，
由四棱台ABCDA1B1C1D1的高为2，体积为14，
可得 eq \f(1,3) (a2＋ eq \r(a2·4a2) ＋4a2)×2＝14 ，解得a＝ eq \r(3) ，
对于四棱台，A1C1＝ eq \r(6) ，AC＝2 eq \r(6) ，∴CC1＝ eq \r(（\f(\r(6),2)）2＋4) ＝ eq \r(\f(11,2)) ，
则AC1＝ eq \r(（2\r(6)－\f(\r(6),2)）2＋4) ＝ eq \r(\f(35,2)) ，故得AC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋CC eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －AC2＝ eq \f(35,2) ＋ eq \f(11,2) －24<0 ，
即∠AC1C>90°，由棱台的性质可知外接球球心位于对角面AA1C1C所在平面上，
故由此可知外接球球心在棱台的外部，即底面ABCD的外部，
设球心到平面ABCD的距离为h1，则到平面A1B1C1D1的距离为h1＋2，设外接球半径为R，
则R2＝6＋h eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，R2＝( eq \f(\r(6),2) )2＋(h1＋2)2 ，解得R2＝ eq \f(385,64) ，
故外接球的表面积为4πR2＝ eq \f(385π,16) .
17．解析：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，
则m－2×3＝0，解得m＝6.
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝ eq \r(62＋32)＝3 eq \r(5)，
故与b同方向的单位向量为 eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝( eq \f(2\r(5),5)， eq \f(\r(5),5)).
(2)由题意，得2a2－3a·b－2b2＝2×5－3a·b－2＝3，即3a·b＝5，
所以cs 〈a，b〉＝ eq \f(5,3·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))＝ eq \f(\r(5),3).
18．解析：(1)由频率之和为1可知：
第二组的频率为1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40.
又因为第二小组的频数为8，所以共抽取的学生成绩数为 eq \f(8,0.4)＝20.
频率分布直方图如图所示：
(2)由(1)知：第三、第五小组抽取的成绩数分别为
20×0.15＝3个，20×0.05＝1个，分别设为a，b，c，d，
设第五小组的恰好没有被抽中为事件A，
则从中抽取2个的基本事件如下：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共6种，
其中第五小组的恰好没有被抽中的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)共3种．
则P(A)＝ eq \f(3,6)＝ eq \f(1,2).
19．解析：(1)图中与l平行的直线为AB和CD，
因为底面ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，
因为CD⊄平面VAB，AB⊂平面VAB，
所以CD∥平面VAB，
因为平面VAB与平面VCD的交线l，CD⊂平面VCD，
所以CD∥l，即l∥CD，进一步由平行线的传递性得，l∥AB.
(2)证明：因为BC⊥平面VAB，VA⊂平面VAB，
所以BC⊥VA，
因为VA⊥VB，VB∩BC＝B，
所以VA⊥平面VBC，
因为VA⊂平面VAD，
所以平面VAD⊥平面VBC.
20．解析：(1)：选择①，因为2cs 2C－8cs (A＋B)＋5＝0，
即2(2cs 2C－1)－8cs (π－C)＋5＝0，
即4cs 2C＋8cs C＋3＝0，即(2cs C＋1)(2cs C＋3)＝0，
∵0选择②，由sin 2A＋sin 2B＋sin A sin B＝sin 2C及正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2，
即a2＋b2－c2＝－ab，所以cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－ eq \f(1,2)，
因为0(2)由△ABC的面积 eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(\r(3),4)ab＝ eq \r(3)，得ab＝4.
由c2＝a2＋b2－2ab cs c，得14＝a2＋b2＋ab，
得(a＋b)2＝18，即a＋b＝3 eq \r(2)，故△ABC的周长为
3 eq \r(2)＋ eq \r(14).
21．解析：(1)设A0，A2，A3，A5分别表示在一次比赛中甲得分的事件，B0，B2，B3，B5分别表示在一次比赛中乙得分的事件．
因为在一次比赛中甲得2分的概率为 eq \f(1,2)，乙得5分的概率为 eq \f(1,6)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(P（A2）＝p（1－q）＝\f(1,2),P（B5）＝pq＝\f(1,6))).
解得p＝ eq \f(2,3)，q＝ eq \f(1,4).
(2)由已知得P(A0)＝P(B0)＝(1－ eq \f(2,3))×(1－ eq \f(1,4))＝ eq \f(1,4)，
P(A2)＝P(B2)＝ eq \f(1,2)，
P(A3)＝P(B3)＝(1－ eq \f(2,3))× eq \f(1,4)＝ eq \f(1,12)，
P(A5)＝P(B5)＝ eq \f(1,6)，
设C＝“‘星队’在一次比赛中的总得分为5分”，
则C＝A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0，
则P(C)＝P(A0B5)＋P(A2B3)＋P(A3B2)＋P(A5B0)
＝P(A0)P(B5)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A5)P(B0)
＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,6)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,12)＋ eq \f(1,12)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,6)× eq \f(1,4)
＝ eq \f(1,6)，
所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是 eq \f(1,6).
22．解析：(1)判断l∥AC.
证明如下：
∵ABCA1B1C1为直三棱柱，
∴平面A1B1C1∥平面ABC，
∵A1C1⊂平面A1B1C1，
∴A1C1∥平面ABC，
又平面A1BC1∩平面ABC＝l，A1C1⊂平面A1BC1，
∴A1C1∥l，又∵A1C1∥AC，∴l∥AC；
(2)证明：连接AC1，
∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，
又∠BAC＝90°，A1A∩AC＝A，
∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C⊂平面ACC1A1，
∴AB⊥A1C，
又∵直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AC，
∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C，
∵AC1∩AB＝A，AC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，
∴A1C⊥平面ABC1，
又∵BC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥BC1.
(3)过A1作A1D⊥B1C1，垂足为D，连接CD，如图所示，
∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，
∴BB1⊥A1D，
∵B1C1⊥A1D，BB1∩B1C1＝B1，
∴A1D⊥平面BCC1B1，
∴∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，即∠A1CD＝30°，
∵AA1＝AC＝3，∴A1C＝3 eq \r(2)，
∴sin ∠A1CD＝sin 30°＝ eq \f(A1D,A1C)＝ eq \f(A1D,3\r(2))＝ eq \f(1,2)，
∴A1D＝ eq \f(3\r(2),2)，
∴在Rt△A1C1D中，sin ∠A1C1D＝ eq \f(A1D,A1C1)＝ eq \f(\f(3\r(2),2),3)＝ eq \f(\r(2),2)，
∴∠A1C1D＝45°，又∠B1A1C1＝90°，∴A1B1＝A1C1＝3.
设三棱锥A1ABC内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，OA1，
∴三棱锥A1ABC内切球的表面积S＝4πr2＝π(3－ eq \r(3))2＝(12－6 eq \r(3))π.