高中 / 数学 / 人教A版 (2019) / 必修 第二册 / 全册综合统计与概率的应用

统计与概率的应用

核心知识点一：统计与概率的应用

1. 游戏的公平性：

①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为，所以这个规则是公平的。

②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则。

2. 决策中的概率思想：

如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一。

3. 天气预报的概率解释：

天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小。

4. 试验与发现：

概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律。

5. 遗传机理中的统计规律：

孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律。利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系。

例题1  某市共有50万户居民，城市调查队按千分之一的比例进行入户调查，抽样调查的结果如表：

求：（1）一般工作人员家庭人均月收入的估计值1及方差的估计值s；

（2）管理人员家庭人均月收入的估计值2及方差的估计值s；

（3）总体人均月收入的估计值及总体方差的估计值s2。

解：（1）1＝×（20×350＋60×650＋200×950＋80×1 250＋40×1 550）＝995，

s＝×[20×（350－995）2＋60×（650－995）2＋200×（950－995）2＋80×（1 250－995）2＋40×（1 550－995）2]＝83 475。

（2）2＝×（5×350＋10×650＋50×950＋20×1 250＋15×1 550）＝1 040，

s＝×[5×（350－1 040）2＋10×（650－1 040）2＋50×（950－1 040）2＋20×（1 250－1 040）2＋15×（1 550－1 040）2]＝90 900。

（3）＝×（25×350＋70×650＋250×950＋100×1 250＋55×1 550）＝1 004，

s2＝×[25×（350－1 004）2＋70×（650－1 004）2＋250×（950－1 004）2＋100×（1 250－1 004）2＋55×（1 550－1 004）2]＝85 284。

总结提升：

样本的数字特征分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平均数（也叫均值）；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如方差和标准差。通常我们用样本的平均数和方差（标准差）来近似代替总体的平均数和方差（标准差），从而实现对总体的估计。

例题2　某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：

40.03　40.00　39.98　40.00　39.99　40.00　39.98

40.01　39.98　39.99　40.00　39.99　39.95　40.01

40.02　39.98　40.00　39.99　40.00　39.96

（1）完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；

（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品。若这批乒乓球的总数为10 000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数。

解：（1）频率分布表如下：

频率分布直方图如图。

（2）∵抽样的20个产品中在[39.98，40.02]范围内的有17个，∴合格品频率为×100%＝85%。

∴10 000×85%＝8 500。

故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为8 500。

总结提升：

总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等。通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体。

例题3  为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）。

（1）在下面表格中填写相应的频率；

（2）估计数据落在中的概率为多少；

（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库。几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条。请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。

解：（1）根据频率分布直方图可知，频率＝组距×（频率/组距），故可得下表：

（2）0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30）中的概率约为0.47。

（3）＝2 000，所以水库中鱼的总条数约为2 000。

总结提升：

极大似然估计，可以近似的按照比例进行计算

例题4　三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人（不自传），若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？

解：记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出：如图。

每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6，根据古典概型概率公式得P＝＝。

总结提升：

事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达。

1. 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率。

2. 概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大。

3. 利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养。

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 在10个学生中，男生有x人。现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：

①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生。若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x为（　　）

A. 5   B. 6

C. 3或4   D. 5或6

2. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（　　）

A. 3件都是正品 B. 至少有一件是次品

C. 3件都是次品 D. 至少有一件是正品

3. 一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：

则样本数据落在[10，40）上的频率为________。

4. 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5）　2　[15.5，19.5）　4　[19.5，23.5）　9

[23.5，27.5）　18　[27.5，31.5）　11　[31.5，35.5）　12

[35.5，39.5）　7　[39.5，43.5]　3

根据样本的频率分布估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是________。

5. 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表。

（1）请完成上述表格；

（2）该油菜籽发芽的概率约为多少？

6. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计如下：

则取到的号码为奇数的频率是（　　）

A. 0.53      B. 0.5     C. 0.47      D. 0.37

7. 下列结论正确的是（　　）

A. 设事件A的概率为P（A），则必有0＜P（A）＜1

B. 事件A的概率P（A）＝0.999，则事件A是必然事件

C. 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效。现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%

D. 某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖

8. 随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如下表：

根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是（　　）

A.  B.

C.  D.

二、填空题

9. 对某产品进行抽样检查，数据如下：

根据表中的数据，如果要从该产品中抽到950件合格品，则大约需要抽查________件产品。

10. 容量为200的样本的频率分布直方图如图所示。根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6，10）内的频数为________，估计数据落在[2，10）内的概率约为________。

11. 将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________。

12. 从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：

492　496　494　495　498

497　501　502　504　496

497　503　506　508　507

492　496　500　501　499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________。

13. 某班50名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是________。

14. 在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别为________，________。

15. 从某学校的男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]。如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组的人数相同，第六组的人数为4。

（1）求第七组的频率；

（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上（含180 cm）的人数。

1. 答案：C

解析：由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x＝3或x＝4。故选C。

2. 答案：D

解析：12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D。

3. 答案：0.52

解析：[10，40）包含[10，20），[20，30），[30，40）三部分，所以数据落在[10，40）上的频数为13＋24＋15＝52，由fn（A）＝可得频率为0.52。

4. 答案：

解析：数据落在[31.5，43.5]内的频数为12＋7＋3＝22，样本容量为66，则数据落在[31.5，43.5]内的频率为＝，故所求概率约为。

5. 解：（1）填入题表中的数据依次为1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903。

（2）由（1）估计该油菜籽发芽的概率约为0.902。

6. 答案：A

解析：＝0.53。

7. 答案：C

解析：A项不正确，因为0≤P（A）≤1；若事件A是必然事件，则P（A）＝1，故B项不正确；对于D项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D项不正确。故选C。

8. 答案：C

解析：由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，

所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为＝。由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为。故选C。

9. 答案：1 000

解析：根据题表中数据可知合格品出现的频率为0.94，0.92，0.96，0.95，0.95，因此合格品出现的概率约为0.95，因此要抽到950件合格品，大约需要抽查1 000件产品。

10. 答案：64  0.4

解析：数据落在[6，10）内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2，10）内的频率为（0.02＋0.08）×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率为0.4。

11. 答案：3∶1

解析：将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：

（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）。

至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1。

12. 答案：0.25

解析：袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25。

13. 答案：35

解析：低于70分的频率为（0.012＋0.018）×10＝0.3，所以不低于70分的频率为0.7，故不低于70分的人数为50×0.7＝35。

14. 答案：31　26

解析：由茎叶图可知这组数据为12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42。所以众数和中位数分别为31，26。

15. 解：（1）第六组的频率为＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×（0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06）＝0.06。

（2）身高在第一组[155，160）的频率为0.008×5＝0.04，

身高在第二组[160，165）的频率为0.016×5＝0.08，

身高在第三组[165，170）的频率为0.04×5＝0.2，

身高在第四组[170，175）的频率为0.04×5＝0.2，

由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜0.5，0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175，

由0.04＋0.08＋0.2＋（m－170）×0.04＝0.5，得m＝174.5，

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5，

由直方图得后三组频率为0.06＋0.08＋0.008×5＝0.18，

所以身高在180 cm以上（含180 cm）的人数为0.18×800＝144。