2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题11.1 必修第二册综合检测1

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专题11.1 必修第二册综合检测1考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2024高三下·全国·阶段练习）若复数满足，则A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】由条件，则，求出，在求.【详解】∵，∴，∴.故选：A【点睛】本题考查复数的加法运算和模长，属于基础题.2．（2024高二上·安徽池州·期中）设，是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A．过且与平行的平面有且只有一个B．过且与垂直的平面有且只有一个C．与所成的角的范围是D．过空间一点与、均平行的平面有且只有一个【答案】A【分析】在A中，过m上一点作n的平行线，只能作一条l，l与m是相交关系，故确定一平面与n平行；在B中，只有当m与n垂直时才能；在C中，两异面直线所成的角的范围是；在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在．【详解】在A中，过m上一点P作n的平行直线l，，由公理三的推论可得m与l确定唯一的平面α，l⊂α，n⊄α，故．故A正确．在B中，设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故B不正确．在C中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是，故C不正确．在D中，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D不正确．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．3．（2024高三上·江西·期末）设，向量，，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量平行和垂直满足的坐标关系，即可求解的值，进而结合逻辑关系的判断即可求解.【详解】当时，由，可得，解得，当时，由，可得，解得，因此“”是“”的必要不充分条件，故选：B4．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，则（    ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据，利用正弦定理将角转化为边整理得到，然后利用余弦定理求解.【详解】因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．（2024高二上·湖南长沙·期末）中国的华为公司是全球领先的(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人､每个家庭､每个组织，构建万物互联的智能世界其中华为的智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌为了研究某城市甲､乙两个华为智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲､乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折线图，则下列说法错误的是（    ）A．根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在内B．根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C．根据甲､乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D．根据甲､乙两店的营业额折线图可知7､8､9月份的总营业额甲店比乙店少【答案】C【分析】根据折线图的数据，分别判断选项.【详解】A.根据图象可知，甲店的营业额的平均值是，故A正确；B.根据乙店的折线图，可知B正确；C.甲店月营业额的极差是，乙店的月营业额的极差是，，故C错误；D.甲店7，8,9月份的总营业额是，乙店7，8,9月份的总营业额是，，故D正确.故选：C6．（2024高三上·山西大同·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，则与所成的角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中点，连接，则是与所成的角（或所成角的补角），由此能求出与所成的角的余弦值【详解】如图，取的中点，连接，因为在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别是中点，所以∥，所以是与所成的角（或所成角的补角），因为，所以，，所以，所以与所成的角的余弦值为，故选：D7．（2024高一下·安徽·阶段练习）在边长为6的菱形中，，现将菱形沿对角线BD折起，当时，三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合图形的几何性质求出相关线段的长，根据球的几何性质确定三棱锥外接球的球心位置，求得外接球半径，即可求得答案.【详解】由题意在边长为6的菱形中，知，和为等边三角形，如图所示，  取BD中点E，连接AE，CE，则，，同理可得，又，则，则，又平面,故平面，而平面，故,由于为等边三角形，故三棱锥外接球球心O在平面内的投影为的外心，即平面，故，过O作于H，则H为的外心，则,即共面，则，则四边形为矩形，则在中，，，所以外接球半径，则外接球表面积为，故选：C8．（2024高一下·湖北武汉·期中）在中，若，且，则（    ）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】由，可得角；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得，即可得解．【详解】由，得，，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故选：D．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2024高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列命题中错误的有（    ）A．的充要条件是且 B．若，，则C．若，则存在实数，使得 D．【答案】ABC【分析】利用平面向量相等的定义判断A；举反例判断BC；利用向量三角形法则判断D.【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；对于B：当时，则不一定平行，故B错误；对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.故选：ABC.10．（2024高二上·湖南·期中）下列各对事件中，为相互独立事件的是（    ）A．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”B．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，每次摸一个球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”【答案】ABD【分析】由独立事件的概念逐项判断即可.【详解】对于A，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立的，故A正确；对于B，由于第1次摸到球有放回，因此不会对第2次摸到球的概率产生影响，因此是相互独立事件，故B正确；对于C，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；对于D，样本空间，事件，事件，事件，所以，，，即.故事件M与N相互独立，故D正确.故选：ABD.11．（2024高一下·江苏苏州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是钝角三角形B．若，则符合条件的有两个C．若，则角的大小为D．若为斜三角形，则【答案】AD【分析】A. 由，得到，再利用余弦定理判断； B.利用余弦定理判断；C. 由，利用正弦定理求解判断；D.利用两角和的正切公式求解判断.【详解】A. 因为，则，所以，所以，则是钝角三角形，故正确；B. 因为，所以，，则，则符合条件的有一个，故错误； C. 因为，由正弦定理得，即，所以，即，又，则，故错误；D.因为，则，，所以，故正确；故选：AD填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2024高三·上海·学业考试）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为 、，则的面积为 【答案】/【分析】求出两点的坐标，关于轴对称，以AB为底求三角形面积.【详解】方程的根为，即，，所以，所以关于轴对称， 以AB为底求三角形面积，所以.故答案为：13．（2024高三上·福建泉州·阶段练习）中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要45秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米如图所示，旗杆底部与第一排在同一个水平面上，则旗杆的高度为 米．  【答案】【分析】根据题意求得角，利用正弦定理求得边长，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可.【详解】由题意可知，，所以，由正弦定理可知在中，所以，所以在中，故答案为：14．（2024高一·全国·课后作业）某自助银行有四台ATM，在某一时刻这四台ATM被占用的概率分别为.（1）若某客户只能使用四台ATM中的或，则该客户需要等待的概率为 ；（2）某客户使用ATM取款时，恰好有两台ATM被占用的概率为 .【答案】 【解析】（1）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待即为事A,B同时发生，且A,B相互独立，代入概率公式 可求.（2）恰有两台ATM机被占用，考虑是那两台ATM机被占用，代入相互独立事件的概率公式可求．【详解】（1）该客户需要等待意味着与同时被占用，故所求概率为.（2）依题意，该客户使用ATM取款时恰好有两台ATM被占用的概率为.故答案为：  (1).     (2). 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，但应用公式时一定要注意A,B相互独立的条件．解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（23-24高三上·安徽·开学考试）如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，满足.  (1)求；(2)点D在BC上，，，求AB.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正余弦定理可求出，利用两角差的正弦公式求解；（2）在△ABD中，由正弦定理求解即可得解.【详解】（1）由已知及正弦定理得：，即. 由余弦定理得：，又，所以. 故，所以；（2）由（1）知，又，所以，，在△ABD中，由正弦定理得：，所以.16．（2024高三下·安徽六安·阶段练习）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案.【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，故甲参加围棋比赛的概率为； （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，则所有的可能为，，，，，，，，，，，，其中满足条件的有，两种，故所求概率.【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题17．（2024高一上·全国·单元测试）已知一组数据：125　121　123　125　127　129　125　128　130　129　126　124　125　127　126　122　124　125　126　128(1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)126，126.25，126.3【分析】（1）根据所给数据整合数据即可；（2）根据频率分布直方图的概念作图；（3）利用众数、中位数和平均数的定义求解.【详解】（1）频率分布表如下：（2）频率分布直方图如下：  （3）在[125，127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，图中虚线对应的数据是125＋＝126.25，使用“组中值”求平均数：＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3.18．（2024高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设．(1)若，以为基底表示向量与；(2)求的取值范围．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与.（2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围.【详解】（1）依题意，，所以；由，得所以.（2）由（1）知，，依题意，，由，，得，因此，显然，则，即，所以的取值范围为.19．（2024高一下·广东广州·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，.  (1)求证：平面平面POB；(2)当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直性质和线面垂直的性质得到，再证明，最后利用面面垂直的判定即可证明；（2）利用锥体体积公式和等体积法，最后根据体积比即可得到答案.【详解】（1），为中点，所以，因为侧面面ABCD，且侧面面，平面，所以面ABCD，因为面，所以，因为底面ABCD是直角梯形，，，则，因为，为中点，则，则四边形为平行四边形，又因为，，则四边形为正方形，则，又因为，面，所以面，又因为面，所以平面平面POB.（2）假设在棱PC上是否存在一点M满足题意，当时，则，因为为中点，则，则，则，，，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则.分组频数频率[121，123)[123，125)[125，127)[127，129)[129，131]合计分组频数频率[121，123)20.10[123，125)30.15[125，127)80.40[127，129)40.20[129，131]30.15合计201.00