高中 / 数学 / 人教A版 (2019) / 必修 第二册 / 全册综合空间向量与立体几何（一）

这是一份2021学年全册综合优质学案设计，共23页。学案主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

空间向量与立体几何（一）
空间向量及线性运算知识精讲

重点
1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；
3. 理解空间向量的线性运算及其性质。
难点
体会类比的数学方法
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等





核心知识点一：空间向量的有关概念

定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
长度
向量的大小叫做向量的长度或模。
表示法
几何表示法
空间向量用有向线段表示。
字母表示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作，也可记作 ，其模记为。

几类特殊向量
①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为。
②单位向量：模为1的向量称为单位向量。
③相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量称为的相反向量，记为。
④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
注意：
1. 向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小。一般来说，向量不能比较大小。
2. 零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行。
3. 单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量。
4. 空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的。

核心知识点二：空间向量的加减运算、数乘运算
1. 空间向量的加减运算
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图）：
；＝－。

2. 空间向量的数乘运算
（1）定义：实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
（2）向量与的关系：
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向相同
的模是的模的|λ|倍
λ＝0
＝0，其方向是任意的
λ<0
方向相反
3. 运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
（3）数乘运算律： 设λ，μ是实数，则有
①分配律：；
②结合律：。

核心知识点三：共线向量与共面向量基本定理


共线（平行）向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数λ使。
若两个向量不共线，则向量与，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使。
推论
如果l为经过点A平行于已知非零向量的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，①其中叫做直线l的方向向量，如图所示。若在l上取，则①式可化为。

如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使 ，或对空间任意一点O来说，有
。

注意：
1. λ是一个向量。当λ＝0或＝0时，＝0。
2. 平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立。
3. 共线向量的充要条件及其推论是证明共线（平行）问题的重要依据，条件≠0不可遗漏。
4. 直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量。一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反。
5. 共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来。另外，还可以用＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面。


1. 主要内容：
（1）空间向量的基本概念
（2）空间向量的加减、数乘运算及它们的运算律
（3）共线向量基本定理
（4）共面向量基本定理
2. 数学思想：化归与转化思想
3. 数学方法：类比法


（答题时间：20分钟）
一、选择题
1. 给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足||＝||，则＝；④若空间向量满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等。其中正确命题的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线。
②向量，，共面，即它们所在的直线共面。
③若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知向量，，满足，则（　　）
A. B.
C.与同向 D.与同向
4. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（　　）
A. 有相同起点的向量 B. 等长向量
C. 共面向量 D. 不共面向量




1. 答案：D
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错。
2. 答案：A
解析：①当＝0时，与不一定共线，故①错误；
②中，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；
③当为零向量，不为零向量时，λ不存在。
3.答案：D
解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确。
4.答案：C
解析：根据题意易知，＝＝-，所以向量、、是共面向量。

空间向量及线性运算典例精析

重点
能运用空间向量的有关知识解决立体几何中的线性运算问题，证明有关向量共线问题，以及向量共面问题。
难点
对共线定理及共面定理的理解
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等


类型一：空间向量的线性运算
例题1 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为B1C的中点，化简下列各向量表达式，并标出化简结果的向量。

（1）；
（2）；
（3）。
【解析】（1）
（2）
（3）

总结提升：
（1）始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量。
（2）在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则。如图，

即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量。求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和。

类型二：向量共线问题
例题2 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线。

【解析】∵M，N分别是AC，BF的中点，
四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝（－）＋＋（＋）
＝＋＋
＝（＋）
＝。
∴∥，即与共线。
总结提升：判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出，从而得出，即与共线。

类型三：向量共面问题
例题3 对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点。
试证：与，共面。

【解析】空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，
则＝＋＋，
＝＋＋。①
又E，F分别是AB，CD的中点，故有＝－，
＝－。②
将②代入①中，两式相加得2 ＝＋。
所以＝＋，即与，共面。
总结提升：利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件。解答本题实质上是证明存在实数x，y使向量＝x＋y成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用，表示。


1. 化简空间向量式的常用思路
（1）统一成加法后利用空间多边形法则化简；
（2）利用向量的减法法则，即利用化简；
（3）利用把各个向量转化成与空间的某一点有关的向量化简。
2. 在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧
灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路（即沿几何体的边选择途径），多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”。
3. 利用共线向量定理可解决的主要问题及方法
（1）判定共线：判定两向量是否共线，即判断是否存在实数λ，使。
（2）求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若，则（λ∈R）”。
（3）判定或证明三点（如P,A,B）是否共线：
①考察是否存在实数λ，使；
②考察对空间任意一点O，是否有；
4. 利用共面向量定理需注意的问题
在利用与共面 时，一定注意不能共线。向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据。


（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋化简后的结果是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，模与向量的模相等的向量有（ ）
A. 7个 B. 3个
C. 5个 D. 6个
3. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点。若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. －＋＋ B. ＋＋
C. －＋ D. －－＋
4. 已知空间向量，，且＝＋2，＝－5＋6，＝7－2，则一定共线的三点是（ ）
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
5. 在四面体O－ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（ ）
A. －+ B. －＋
C. ＋＋ D. ＋＋

二、解答题
6. 已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
（1）＝＋x＋y；
（2）＝x＋y＋。
7. 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝。
求证：四边形EFGH是梯形。





1. 答案：A
解析：由正方体的性质可得－＋＝－＋＝＋＝。
2. 答案：A
解析：||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||。
3. 答案：A
解析：＝＋＝＋（－）＝＋－＝－＋＋。
4. 答案：A
解析：＝＋＝（－5＋6）＋（7－2）
＝2＋4＝2，∴A，B，D三点共线。
5. 答案：C
解析：＝＋＝＋
＝＋×（＋）
＝＋（－＋－）
＝＋＋
＝＋＋。

6. 解：（1）∵＝－
＝－（＋）
＝－－，
∴x＝y＝－。

（2）∵＋＝2，∴＝2－。
又∵＋＝2，∴＝2－。
从而有＝2－（2－）＝2－2＋。
∴x＝2，y＝－2。
7. 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
＝－＝－＝（－）
＝＝（－）＝（－）
＝（－）＝，
∴∥且||＝||≠||。
又点F不在上，∴四边形EFGH是梯形。


空间向量的数量积运算


重点
1. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；
2. 能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直。
难点
空间向量数量积运算律的理解
考试要求
考试
Ø 题型 解答题
Ø 难度 中等





核心知识点一：空间向量的夹角
（1）定义：已知两非零向量，在空间中任取一点O，作，则∠AOB叫做向量的夹角。
记法：，
范围：[0，π]
图示：

（2）空间向量垂直：如果，那么向量互相垂直，记作。

核心知识点二：空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作。
运算律
数乘向量与向量数量积的结合律

交换律

分配律

数量积的性质
（1）若是非零向量，则
（2）若与同向，则
若反向，则
特别地：或
（3）若θ为的夹角，则
（4）（当时等号成立）
应用
（1）可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角
（2）可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直

核心知识点三：投影向量
（1）如图（1），为向量在向量上的投影向量：
（2）如图（2），为向量在直线l上的投影向量
（3）如图（3），为向量在平面α上的投影向量，向量，的夹角就是向量所在直线与平面α所成的角。

注意：
1. 两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π。
2. 两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零。
3. 数量积的几何意义是：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。


典例一：数量积的运算
例题1　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点。求下列向量的数量积：

（1）·；
（2）·；
（3）（＋）·（＋）。
【解析】（1）正四面体的棱长为1，则||＝||＝1。△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
·＝||||cos〈，〉
＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝。
（2）因为E，F分别是OA，OC的中点，
所以EF//AC，
于是·＝||||cos〈，〉
＝||·||cos〈，〉
＝×1×1×cos〈，〉
＝×1×1×cos 60°＝。
（3）（＋）·（＋）＝（＋）·（－＋－）
＝（＋）·（＋－2）
＝2＋·－2·＋·＋2－2·
＝1＋－2×＋＋1－2×＝1。
总结提升：在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算。

典例二：利用数量积求异面直线所成角
例题2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值。

【解析】∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，
∴·＝－＝－1。
又||＝，||＝＝，
∴，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为。
总结提升：利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：


典例三：利用数量积求两点间距离
例题3　如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长。

【解析】∵＝＋＋，
∴||2＝2＝（＋＋）2
＝2＋2＋2＋2（·＋·＋·）＝1＋1＋1＋2（cos 60°＋cos 60°＋cos 60°）＝6。
∴||＝，即对角线AC1的长为。
同理，||2＝2＝（＋－）2
＝2＋2＋2＋2（·－·－·）＝1＋1＋1＋2（cos 60°－cos 60°－cos 60°）＝2。
∴||＝，即对角线BD1的长为。
总结提升：求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用，通过向量运算去求，即得所求距离。

典例四：利用数量积证明垂直问题
例题4　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。

【证明】∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0。
∴·＝（＋）·（－）
＝·＋·－2－·
＝·－2－·
＝·（－－）＝·＝0。
∴⊥，从而AD⊥BC。
总结提升：用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明。


1. 求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角。在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同。
2. 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题。其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式求解即可。
3. 利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算。


（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　）

A. 2· B. 2·
C. 2· D. 2·
2. 如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于（　　）

A. 6 B. 6
C. 12 D. 144
3. 已知向量是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则，且是l⊥α的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是（　　）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 不确定

二、填空题
5. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________。


三、解答题
6. 已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E，F分别为AB，OC的中点，求与所成角的余弦值。




1. 答案：B
解析：2·＝－2·＝－2a2cos 60°＝－a2，
2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，
2·＝·＝－a2，
2·＝·＝－·＝－a2。
2. 答案：C
解析：∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，
∴||＝12。
3. 答案：B
解析：若l⊥平面α，则，，，；
反之，若，则，，并不能保证l⊥平面α。
4. 答案：B
解析：·＝（－）·（－）＝·－·－·＋2＝2>0。
同理，可证·>0，·>0。
∴三角形的三个内角均为锐角。
5. 答案：
解析：2＝（＋＋）2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°
＝50＋20＋15＝85，
∴||＝。
6. 解：如图，设＝，＝，＝，

且||＝||＝||＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则·＝·＝·＝。
因为＝（＋），
＝－，||＝||＝，
∴·＝（＋）·（－）
＝·＋·－·－||2＝－。
∴。
∵异面直线所成的角为直角或锐角，
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为。