2023版新教材高中数学习题课直线平面平行与垂直的综合新人教A版必修第二册

习题课　直线、平面平行与垂直的综合

必备知识基础练　

1．已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是(　　)

A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α

B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α

C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α

D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α

2．已知直线a，b，平面α，β，则下列命题中正确的是(　　)

A．α⊥β，a⊂α，则a⊥β

B．α∥β，a∥α，则a∥β

C．a∥β，b⊂β，则a∥b

D．a与b互为异面直线，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β

3．已知两个平面α，β，两条直线m，l，满足m⊂α，l⊂β，则下列命题正确的是(　　)

A．若m∥β，则m∥l    B．若m⊥l，则m⊥β

C．若m∥l，则α∥β    D．若m⊥β，则α⊥β

4．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是(　　)

A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

B．若m∥α，β⊥α，则m∥β

C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n

D．若m∥α，m⊥β，则α∥β

5．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题中正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β

C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n

D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β

6．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1交于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)

A．平行

B．EF⊂平面A1B1C1D1

C．相交但不垂直

D．垂直

7．如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．

(1)求证：DE∥平面PAC；

(2)求证：AB⊥PB.

关键能力综合练　

1．下列命题中正确的是(　　)

A．过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行

B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

C．过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直

D．过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面

2．m，n是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法不正确的是(　　)

A．若m∥β且m⊥α，则α⊥β

B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交或异面

C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直

D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n异面或平行

3．已知a，b是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是(　　)

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a∥α，a∥β，则α∥β

C．若α∥β，α⊥γ，则β∥γ

D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

4．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，D、E、F分别是所在棱的中点．则下列说法错误的是(　　)

A．平面DEF∥平面PBC

B．平面PAB⊥平面ABC

C．PA⊥BC

D．DE∥PC

5．(多选)如图，在棱长均相等的正四棱锥P­ABCD中，M、N分别为侧棱PA、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有(　　)

A．PC∥平面OMN

B．平面PCD∥平面OMN

C．OM⊥PA

D．PD⊥平面OMN

6．如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，四条侧棱均相等，AC，BD交于点O，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH.求证：

(1)PO⊥平面ABCD；

(2)GH∥EF.

7.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AD＝3BC＝3，AB＝，点E在线段PD上，PD＝3PE.

(1)求证：CE∥平面PAB；

(2)求证：平面PAC⊥平面PCD.

8．如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，现以AD为一边在平面ABCD内向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.

(1)求证：AM∥平面BEC；

(2)求证：BC⊥平面BDE.

核心素养升级练　

1.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段BD，A1C1上的任意一点．下列四个结论中正确的是(　　)

A．存在点P，Q，使得PQ⊥平面ABCD

B．存在点P，Q，使得PQ⊥平面BDC1

C．存在点P，Q，使得PQ∥平面BCD1

D．存在点P，Q，使得PQ∥平面D1DCC1

2．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：

①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示).

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝3.

(1)若点E为线段PD的中点，求证：AE⊥平面PDC；

(2)若＝－，则线段AB上是否存在一点F，使得EF∥平面PBC，若存在，请确定点F的位置，并求三棱锥F­PBC的体积．

习题课　直线、平面平行与垂直的综合

必备知识基础练

1．答案：A

解析：根据线面垂直的判断定理可知，直线需垂直于平面内的两条相交直线，故A错误，C正确；根据线面平行的判定定理可知，平面外的线平行于平面内的一条直线，即可证明线面平行，若直线l平行于α内的无数条直线，也可说明线面平行，故BD正确．

故选A.

2．答案：D

解析：A选项中，只有直线a与两平面的交线垂直的时候结论才成立；B选项中，还有可能a⊂β；C选项中，两直线a，b平行或异面；D选项中，过直线a上一点作b′∥b，则相交直线a，b′确定一个平面，设为γ，易得γ∥α且γ∥β，所以α∥β；故选D.

3．答案：D

解析：若m∥β，则m∥l或m与l异面，A错误；若m⊥l，则m⊥β或m与β斜交，或m⊂β，B错误；如图，满足m∥l，但α⊥β，C错误；

根据面面垂直的判定，可知若m⊥β，则α⊥β.故选D.

4．答案：C

解析：若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，对于A，若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直α，故A错误；对于B，若m∥α，β⊥α，此时m与α可能相交、平行或m在α上，故B错误；对于C，若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；对于D，若m∥α，m⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．

故选C.

5．答案：D

解析：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行，相交，异面，故A错误；若α∩β＝n，m∥n，则可能m⊂α，故B错误；若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能平行，相交，异面，故C错误；若m∥α，则存在n⊂α，且m∥n，又m⊥β，则n⊥β，所以α⊥β，故D正确．故选D.

6．答案：D

解析：由正方体的结构特征可知，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，

又平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1＝A1B1，且EF⊂平面AA1B1B，EF⊥A1B1，

由平面与平面垂直的性质可得，EF⊥平面A1B1C1D1.

故EF与平面A1B1C1D1的关系是相交且垂直．

故选D.

7．证明：(1)∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，

∴DE∥PA，

又∵DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC；

∴DE∥平面PAC.

(2)∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，

∴PC⊥AB，

∵AB⊥BC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，

∴AB⊥平面PBC，

又∵PB⊂平面PAB，∴AB⊥PB.

关键能力综合练

1．解析：

对于A，如图在正方体中，过直线AB外一点D1有两个平面，平面A1B1C1D1，平面DCC1D1都与直线AB平行，故A错误；对于B，由于垂直同一条直线的两个平面平行，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故B正确；

对于C，如图在正方体中，过平面ABCD外一点D1有两个平面，平面DCC1D1，平面A1ADD1都与平面ABCD垂直，故C错误；

对于D，当直线与平面相交时，过该直线，不能作出与已知平面平行的平面，故D错误．

故选B.

2．答案：C

解析：若m∥β且m⊥α，则α⊥β，判断A正确；若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故B正确；若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n异面或平行，故D正确．

故选C.

3．答案：D

解析：

如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线a，若直线B1C1为直线b，满足a∥α，b∥α，而a∩b＝B1，A不正确；由选项A知，若平面CDD1C1为平面β，满足a∥α，a∥β，而α∩β＝CD，B不正确；由选项A知，若平面A1B1C1D1为平面β，平面BCC1B1为平面γ，满足α∥β，α⊥γ，而β∩γ＝B1C1，C不正确；

因a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质得a∥b，D正确．

故选D.

4．答案：D

解析：∵D、E分别是PA，AB的中点，

∴DE∥PB，又DE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴DE∥平面PBC，

同理可得DF∥平面PBC，

又DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面PBC，故A正确；

∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A，

∴PA∩平面ABC，

∴PA⊥BC，故C正确，

又PA⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC，故B正确；

假设DE∥PC，又DE∥PB，

∴PB∥PC，与PB∩PC＝P矛盾，故DE与PC不平行，故D错误．

故选D.

5．答案：ABC

解析：因为O为底面四边形ABCD对角线的交点，

所以O为AC的中点，由M是PA的中点，可得PC∥MO，

因为PC⊄平面OMN，OM⊂平面OMN，

所以PC∥平面OMN，A正确；

同理可推得PD∥平面OMN，

而PC∩PD＝P，

所以平面PCD∥平面OMN，B正确；

因为PD⊂平面PCD，故PD不可能垂直平面OMN，D错误；

设该正四棱锥的棱长为a，

则PA＝PC＝a，AC＝a，

所以PA⊥PC，

因为PC∥MO，

所以OM⊥PA，C正确．

故选ABC.

6．证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，且AC，BD交于点O，

∴O为AC，BD的中点，

由已知得PA＝PC，PB＝PD，

∴△PAC和△PBD均为等腰三角形，

∴PO⊥AC，PO⊥BD，

又AC，BD⊂平面ABCD，且AC∩BD＝O，

∴PO⊥平面ABCD.

(2)∵BC∥平面GEFH，BC⊂平面ABCD，

平面GEFH∩平面ABCD＝EF，

∴BC∥EF，

同理可得，BC∥GH，

∴GH∥EF.

7．证明：(1)过E作EF∥AD交PA于点F，连接BF，

因为BC∥AD，所以EF∥BC.

又PD＝3PE，所以AD＝3EF.

又AD＝3BC，所以EF＝BC

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE∥BF，

又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，

所以CE∥平面PAB.

(2)在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝3BC＝3，AB＝，

所以BC＝1，AC＝＝，

CD＝＝.

所以AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.

因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，

又CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.

8．证明：

(1)取EC中点N，连接MN，BN，如图，在△EDC中，M为ED的中点，

则MN∥CD，且MN＝CD，而AB∥CD，AB＝CD，即有MN∥AB，MN＝AB，

因此四边形ABNM为平行四边形，有AM∥BN，因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，

所以AM∥平面BEC.

(2)由正方形ADEF知，ED⊥AD，而平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，

ED⊂平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，而BC⊂平面ABCD，即有ED⊥BC，

在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝1，则BD＝，∠BDC＝45°，

而CD＝2，有BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos ∠BDC＝2，即BD2＋BC2＝4＝CD2，

因此BC⊥BD，又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDE，

所以BC⊥平面BDE.

核心素养升级练

1．答案：AD

解析：当P，Q分别为线段BD，A1C1的中点时，PQ∥CC1，所以此时有PQ⊥平面ABCD，PQ∥平面D1DCC1，

不存在点P，Q，使得PQ⊥平面BDC1、PQ∥平面BCD1，

故正确结论是AD.

故选AD.

2．答案：①②⇒③

解析：由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，

∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.

3．解析：(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，

所以CD⊥AD，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，

又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.

又因为PA＝PD＝AD，且E为PD中点，所以AE⊥PD，

又因为PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PDC；

(2)如图分别取AB、CD的三等分点F、G，

结合题意可得：EG∥PC，FG∥BC.

又因为PC⊂平面PBC，EG⊄平面PBC，所以EG∥平面PBC，同理FG∥平面PBC.

因为EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，平面EG∩FG＝G，

所以平面EFG∥平面PBC，又因为EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PBC，

此时F为AB靠近点В的三等分点，

所以VF­PBC＝VP­FBC＝VP­ADC＝VC­PAD＝×S△PAD·CD＝××3＝.