高中数学人教A版（2019）必修第二册 6.1.1-6.1.2 向量的概念与几何表示（含解析）

向量的概念与几何表示练习

一、选择题

1. 在下列说法中正确的有

在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量

温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量

方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 
平面上的数轴都是向量

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 下列结论中正确的为     

A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向

3. 有关向量和向量，下列四个说法中：
   若，则；
   若，则或；
   若，则；
   若，则．
   其中的正确有     

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 下列结论一定正确的是

A.
B.
C. 若，则存在实数使得
D.

5. 设，为非零向量，且满足，则与的关系是

A. 既不共线也不垂直 B. 垂直
C. 同向 D. 反向

6. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是

长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

平行且模相等的两个向量是相等向量；

若，则；

两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 设O是等边三角形ABC的中心，则向量，，是    

A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量
C. 平行向量 D. 相等向量

8. 下列说法正确的是

A. 若，，则
B. 在中，必有
C. 若，则A，B，定为一个三角形的三个顶点
D. 若，均为非零向量，则

9. 设为单位向量，且，则   

A.  B.  C. 3 D. 7

10. 已知向量，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知向量与的夹角为，且，，则等于   

A.  B.  C. 1 D.

12. 已知线段上A，B，C三点满足，则这三点在线段上的位置关系是

A.  B.
C.  D.

二、填空题

13. 已知非零向量，满足，则          ．
14. 已知向量，满足，，若存在不同的实数，，使得，且，则的取值范围是_______．
15. 已知，与的方向相反，且，，则实数 ______ ．
16. 已知两点和，在直线AB上存在一点P，使，那么点P的坐标为________．
17. 在中，，，，若D是AB的中点，则          ．

三、解答题

18. 某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．

作出向量，，；求的模．






 

19. 如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．
     

画出所有满足条件的向量；

求的最大值与最小值．

 

20. 已知，，当R取最小值时，

求t的值；

若、共线且同向，求证：






 

21. 如图，在三角形ABC中，，E是AD的中点，设，。
    试用，表示。

若，，且与的夹角为，求。

答案和解析

1.   【答案】B
   【解答】
   解：既有大小，又有方向的量统称为向量，
   结合向量的定义可知仅有错误，
   结合向量的概念以及共线向量的定义可知正确，
   2.【答案】B

【解答】解：A选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确
B选项，向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确
C选项，当时，无意义，故C不正确
D选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确．
3.【答案】B

【解答】

解：若，则，故正确；
若，则或是错误的，因为向量方向可任意，故错误；
若，则向量的长度不一定相等，故错误；
若，则，故正确．
故正确的有，共2个．
4.【答案】A
【解答】
解：A，由向量的运算法则可知，正确；
B，当反向时，，错误；
C，当是零向量，是非零向量时，不存在实数使得，错误；
D，当不共线时，，错误．
5.【答案】D
【解答】解：设，的起点为O，终点分别为A，B，
则，
由，
得O，A，B三点共线，且O在A，B之间．
所以与反向．
6.【答案】B
【解答】
解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，不正确；
当时，也有，不正确；
只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，不正确．
综上可知只有正确，
7.【答案】B

【解答】

解：因为O是等边三角形的中心，
所以O是等边三角形ABC外接圆的圆心，
所以为外接圆的半径，
所以向量是模相等的向量，
8.【答案】B
【解答】
解：对于A，当a、b、c均为非零向量，若，，则，故A错误；
对于B，中，，故B正确；
对于C，当时，A，B，C不一定是一个三角形的三个顶点，如A、B、C三点共线时，故C错误；
对于D，若，均为非零向量，则        ，故D错误．
9.【答案】B

【解答】
解：为单位向量，且，
可得，可得，
．
10.【答案】C

【解析】解：向量，，
若，则，
即，解得；
所以，
所以．
11.【答案】C
【解答】
解：因为向量与的夹角为，，，
所以，
即，
所以，即，
解得舍去或，
12.【答案】A

【解答】

解：由题意可知和共线同向，且．
13.【答案】
【解答】
解：如图，设，，

则，．

，
．

为正三角形，设其边长为1，
则，．

．

14.【答案】，
【解答】
解：

，
，
，


，
故答案为，
15.【答案】
【解答】
解：，，
又与的方向相反，
，．
故答案为：．
16.【答案】或
【解答】
设点p的坐标为，由题知，分情况计算，
，
，
所以，，，解得，，此时．
，
，

所以，，，解得，，此时．
综上所述，点p为或
17.【答案】
【解答】
解：在中，D是AB的中点，
所以，
故

，
所以．
故答案为．
18.【答案】解：作出向量，，，
如图所示：．
由题意得，是直角三角形，
其中，米，米，
所以米．
是直角三角形，其中，米，米，
所以米．
所以米．
19.【答案】解：画出所有的向量，即，如图所示．如图所示．
 

由所画的图知，

当点C位于点或时，取得最小值；

当点C位于点或时，取得最大值．

的最大值为，最小值为．

20.【答案】解：令，为与的夹角，则

     
      ．
所以当时，有最小值．
证明：因为，共线且同向，故所以，所以，所以
21.【答案】解：；

，
， 
，与的夹角为，
，
，
即．