高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

这是一份高中人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案，共19页。
1正弦定理
① 正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R (其中R是三角形外接圆半径)
② 变形
(1) a+b+csin A+sinB+sin C=asinA=bsinB=csinC
(2) 化边为角
a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC
a : b : c=sin A : sin B : sin C ,
ab= sinAsinB , bc=sinBsinC , ac=sinAsinC
(3) 化角为边
sin A=a2R , sin B=b2R , sin C=c2R sinAsinB=ab , sinBsinC=bc , sinAsinC=ac
理由
a⋅sinB+c⋅sinC=b⋅sinC
a⋅b2R+c⋅c2R=b⋅c2R
a⋅b+c⋅c=b⋅c
有角有边的等式
化为
只含边的等式
a⋅sinB+c⋅sinC=b⋅sinC（*）

a⋅b+c⋅c=b⋅c
③ 正弦定理的“齐次角边互换”


等式(∗)中含有三个式子(a⋅sinB、c⋅sinC、b∙sinC)，每个式子中都有一个sin值，并且它们的次数都是1，则可以把sinB、sinC直接转化为对应的边b、c！
同理a⋅sinB+c⋅sinC=b∙sinC⇒ sinA⋅sinB+sinC⋅sinC=sinB⋅sinC.
思考以下转化是否正确
(1) a⋅sinB+c⋅sinC=b⇒a⋅b+c⋅c=b (错)，
(2) sinA⋅sinB+sinB⋅sinC=sin2A⇒a⋅b+b⋅c=a2 (对)
④ 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题
(1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
Eg 在△ABC，内角A , B , C所对的边分别是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，则边a= .
(2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.
Eg在△ABC，内角A , B , C所对的边分别是a , b , c , A=60° , c=2，a=3，则角C= .
(三角形中有一组对边和对角就可考虑正弦定理)
⑤ 三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论.
Eg 求满足a=5 , b=4 , A=60°的三角形△ABC个数.
方法1 利用正弦定理求解
由正弦定理可得：5sin60°=4sinB，则sinB=235，
∵a>b，且A为锐角，∴B有一解，故三角形只有一解；
方法2 图像法
先做出角∠CAB=60∘ , 过点C作CD⊥BC , 此时可知CD=23sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C．在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，则△ABC必是等边三角形
6(★★) 【多选题】在△ABC中，已知a+b:(c+a):(b+c)=6:5:4，给出下列结论中正确结论是( )
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定B．△ABC一定是钝三角形
C．sinA:sinB:sinC=7:5:3 D．若b+c=8，则△ABC的面积是1532
7(★★) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2−b2+2bccsA−2c=0，c∙csA=b(1−csC)，且C=2π3，则c= ；△ABC的面积S= ．
8(★★★) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且asin(A+B)=csinB+C2．
(1)求A； (2)若△ABC的面积为3，周长为8，求a．


【题型二】多个三角形问题
【典题1】 在△ABC中，D是AB边上一点，AD=2DB，DC⊥AC，DC=3 , BC=7，
则AB= ．

【典题2】 在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 ．

【典题3】 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点P为△ABC内一点，
且tan∠PAB=13，tan∠PBA=12．
(1)求∠APB； (2)求PC．

巩固练习
1(★★) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2b，△ABC的面积为4sin∠ACB，AB边上的中线CD长为6，则△ABC的周长为 ．
2(★★) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c=2，b=1，csC=14．则△ABC的中线AD的长为 ．
3(★★) 已知△ABC中，AB=3，BC=5，D为线段AC上一点，AB⊥BD，ADCD=34，则AC= ，△ABC的面积是 ．
4(★★★) 在△ABC中，∠C=90°，M是BC边上一点，且满足CM=2MB，若sin∠BAM=15，
则sin∠BAC= ．
5(★★★) 已知圆内接四边形ABCD，其中AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则2sinA+2sinB= ．
6(★★★) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，M为AD上一点，AM=2MD=2，∠BMC=60°．
(1)若△MCD为等腰三角形，求BC；(2)设∠DCM=θ，若MB=4MC，求tanθ．

A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
a0)，
得a=72k，b=52k，c=32k，
则a:b:c=7:5:3，
则sinA:sinB:sinC=7:5:3，故C正确，
由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误，
csA=b2+c2−a22bc=254k2+94k2−494k22×52×32k2=−120，∴0＜x＜4，
∵BE=CE ∴AB=6+24x+m−22x=6+2−22x，
∴AB的取值范围是(6−2，6+2)．
方法2 尺规作图法
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC , B=C=75°，
与AB形成75°夹角的直线(图中虚线)在平面内移动，
分别交EB、EC于A、D，
则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小值，为6−2；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为6+2；
∴AB的取值范围是(6−2，6+2)．
【点拨】方法1通过辅助线得到两个三角形，引入变量再解三角形，有些复杂；
那方法2是怎么想到的呢？
下面我们试试运用“构图法”找思路
① 先思考满足“∠A=∠B=∠C=75°．BC=2”的四边形是否确定了呢？肯定不是，要不出题者让你求AB长度了. 我们试试“尺规作图”，如图一，先画出线段BC=2，再作角∠B=∠C=75∘，那接着作∠A=75°，没其他条件限制，点A的位置无法确定，它可以移动；
② 当点A在射线BF上移动，如图二，易知A在线段BA1上或在线段BE外是无法得到点D构造出四边形ABCD，故BA1