人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第1课时同步练习题

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知识点1：二面角
（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角.
②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;
③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.
知识点2：二面角的平面角
（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，
⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.
知识点3：二面角的平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).
知识点4：求二面角的平面角步骤
(1)找到或作出二面角的平面角；
(2)证明(1)中的角就是所求的角；
(3)计算出此角的大小
以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”
知识点5：平面与平面垂直
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言
知识点4：平面与平面垂直的判定定理
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言:，
（3）应用：线面垂直面面垂直.
二、重点题型分类研究
题型1:求二面角的大小
1．（2022·全国·高一课时练习）在正四面体中，求相邻两个平面所成角的余弦值．
2．（2020·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.
3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正方体中，求二面角的大小.
4．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥 中，已知平面 .求二面角的正弦值
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平面，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
6．（2020·四川·宁南中学高二开学考试（理））1.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为.（注：山高平面）
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）求二面角的正切值.
题型2：定义法证明平面与平面的垂直
如图,四边形为菱形,,,是平面同一侧的两点,平面,平面, ,. 证明:平面平面.
题型3：平面与平面垂直的判定定理
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且，证明：平面平面
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且，证明：平面平面
3．（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面
4．（2020·江西·宁冈中学高三开学考试（理））如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
5．（2022·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））如图，三棱柱中，底面为等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若是的菱形，证明：平面平面.
题型4：化归与转化思想在面面垂直综合题中的运用
如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧棱,,求证:
(1)平面;
(2)平面平面;
(3)二面角的平面角的大小为.