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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质课文内容ppt课件
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了综合法，知识梳理，p⇒q，必然成立的结论，注意点，反思感悟，分析法，p⇐q，充分条件，反证法等内容，欢迎下载使用。
1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.
2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.
数学家给出了“上帝不是万能的”的证明过程.证明：假设上帝是万能的，那么上帝能做任何事，就让他制造一块自己都搬不动的大石头，如果他造不出来，就说明他不是万能的，如果他造出来了，但他又搬不动，这与假设矛盾.所以，上帝不是万能的.数学家采用了哪种证明命题的方法？常见的证明方法有哪些呢？这节课我们一起来研究不等式的证明方法.
问题1 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为 法.综合法最重要的推理形式为 ，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找 .
1.用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
2.综合法实际上是寻求使命题成立的必要条件，即由因导果.
∵c－d>0.又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.
∵c－d>0.∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
综合法处理问题的三个步骤
(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac
问题2 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
而上式显然成立，所以结论成立.
提示 证明过程是由结论出发，逆推寻求条件.
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止.分析法最重要的推理形式为 ，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的 .
1.用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
2.分析法实际上是寻求使结论成立的充分条件，即执果索因.3.综合法和分析法为直接证明法.
所以要证的不等式成立.
分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.
只需证a＋b－1－ab<0，即证(a－1)(1－b)<0.因为a>1，b>1，所以a－1>0,1－b<0，即(a－1)(1－b)<0成立，所以原不等式成立.
问题3 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
提示 假设结论不成立，逐步推出矛盾.
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
1.假设结论不成立，即结论的否定成立，可将其作为条件.2.常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与公认的简单事实矛盾.3.反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.
已知x∈R，a＝x2＋ ，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，
这与a＋b＋c<3矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.
反证法证明问题的一般步骤
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y).∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾.∴假设不成立，原命题成立.
1.知识清单：三种证明方法的步骤.2.方法归纳：综合法、分析法、反证法.3.常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确.
1.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是A.自然数a，b，c中至少有两个偶数B.自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a，b，c都是奇数D.自然数a，b，c都是偶数
“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
∵35>11，∴原不等式成立.以上证明应用了A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.反证法
该证明方法符合分析法的定义，故选A.
3.(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用A.结论的反设 B.已知条件C.定义、公理、定理等 D.原结论
反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
4.(多选)下列命题中，不正确的是
∵a0.
当c<0时，ac>bc⇒a
假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲.
2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 ”索的因应是A.a－b>0 B.a－c>0C.(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0
⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.
3.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
4.①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是A.①与②的假设都错误B.①的假设正确；②的假设错误C.①与②的假设都正确D.①的假设错误；②的假设正确
对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
A.P>Q B.P＝QC.P∵P>0，Q>0，∴要比较P，Q的大小关系，只需比较P2，Q2的大小关系，
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7).∴Q2>P2.∴P
7.给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得成立的是________.
所以①②④能使它成立.
8.要使 成立，a，b应满足的条件是_____________或者____________.
∴当ab>0时，ba.
9.已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
方法一 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
方法二 ∵a≥b>0，∴a2≥b2，a2－b2≥0,2a＋b>0，∴(a2－b2)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
∴x＝0，与条件x>0矛盾.
11.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.
12.设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立.其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾.故P，Q，R都大于0.所以“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的充要条件.
13.用“>”或“<”填空：
∴bc－ad>0∴ad
故只需a≠b且a，b都不小于零即可.
15.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______.(填序号)
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出.对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16.已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根.
1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.
2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点.掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.
数学家给出了“上帝不是万能的”的证明过程.证明：假设上帝是万能的，那么上帝能做任何事，就让他制造一块自己都搬不动的大石头，如果他造不出来，就说明他不是万能的，如果他造出来了，但他又搬不动，这与假设矛盾.所以，上帝不是万能的.数学家采用了哪种证明命题的方法？常见的证明方法有哪些呢？这节课我们一起来研究不等式的证明方法.
问题1 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为 法.综合法最重要的推理形式为 ，其中p是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找 .
1.用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
2.综合法实际上是寻求使命题成立的必要条件，即由因导果.
∵c
∵c
综合法处理问题的三个步骤
(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac
问题2 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
而上式显然成立，所以结论成立.
提示 证明过程是由结论出发，逆推寻求条件.
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止.分析法最重要的推理形式为 ，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的 .
1.用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
2.分析法实际上是寻求使结论成立的充分条件，即执果索因.3.综合法和分析法为直接证明法.
所以要证的不等式成立.
分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误.
只需证a＋b－1－ab<0，即证(a－1)(1－b)<0.因为a>1，b>1，所以a－1>0,1－b<0，即(a－1)(1－b)<0成立，所以原不等式成立.
问题3 阅读下面的证明过程，证明方法有何特点？
提示 假设结论不成立，逐步推出矛盾.
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.
1.假设结论不成立，即结论的否定成立，可将其作为条件.2.常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；与公认的简单事实矛盾.3.反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题.
已知x∈R，a＝x2＋ ，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，
这与a＋b＋c<3矛盾，假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.
反证法证明问题的一般步骤
∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y).∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾.∴假设不成立，原命题成立.
1.知识清单：三种证明方法的步骤.2.方法归纳：综合法、分析法、反证法.3.常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确.
1.用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是A.自然数a，b，c中至少有两个偶数B.自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a，b，c都是奇数D.自然数a，b，c都是偶数
“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.
∵35>11，∴原不等式成立.以上证明应用了A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.反证法
该证明方法符合分析法的定义，故选A.
3.(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用A.结论的反设 B.已知条件C.定义、公理、定理等 D.原结论
反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
4.(多选)下列命题中，不正确的是
∵a
当c<0时，ac>bc⇒a
假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲.
2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 ”索的因应是A.a－b>0 B.a－c>0C.(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0
⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.
3.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
4.①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是A.①与②的假设都错误B.①的假设正确；②的假设错误C.①与②的假设都正确D.①的假设错误；②的假设正确
对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.
A.P>Q B.P＝QC.P∵P>0，Q>0，∴要比较P，Q的大小关系，只需比较P2，Q2的大小关系，
∵(a＋3)(a＋4)＝a2＋7a＋12>a2＋7a＝a(a＋7).∴Q2>P2.∴P
7.给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推得成立的是________.
所以①②④能使它成立.
8.要使 成立，a，b应满足的条件是_____________或者____________.
∴当ab>0时，b
9.已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
方法一 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
方法二 ∵a≥b>0，∴a2≥b2，a2－b2≥0,2a＋b>0，∴(a2－b2)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
∴x＝0，与条件x>0矛盾.
11.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误.综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.
12.设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立.其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾.故P，Q，R都大于0.所以“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的充要条件.
13.用“>”或“<”填空：
∴bc－ad>0∴ad
故只需a≠b且a，b都不小于零即可.
15.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______.(填序号)
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出.对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
16.已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根.
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