高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质教学设计及反思，共12页。教案主要包含了第1课时，教学过程，第2课时，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。

【第1课时】
不等关系与不等式
【教学过程】
一、新知初探
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的大小比较
3．重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有（a－b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
二、初试身手
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为（ ）
A．T<40B．T>40
C．T≤40D．T≥40
答案：C
解析：限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40．
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（ ）
A．v≤120km/h且d≥10m
B．v≤120km/h或d≥10m
C．v≤120km/h
D．d≥10m
答案：A
解析：v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故选A．
3．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4．5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．
答案：4.5t<28000
解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000．
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．
答案：M＞N
解析：M－N＝a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，∴M＞N．
三、合作探究
类型1：用不等式（组）表示不等关系
例1：京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
解：设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3．
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3．
规律方法
在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示．另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
跟踪训练
1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式（组）表示其中的不等关系．
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))（m）．
因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))，
依题意有S≥216，即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0类型2：比较两数（式）的大小
例2：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）
＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）．
∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1）（x－1）≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．
母题探究
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）
＝（3x2＋1）（x－1）．
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
规律方法
作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解：（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)．
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0．
∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．
类型3：不等关系的实际应用
例3：某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋eq \f(3,4)x·（n－1）＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)nx．
因为y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx
＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5)))，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2．
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
规律方法
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
跟踪训练
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0．55ax，y乙＝0．75（x＋1）a．
y甲－y乙＝（a＋0．55ax）－0．75（x＋1）a
＝0．2a（1．25－x），
当x＞1．25（x∈N）时，y甲＜y乙；
当x＜1．25，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．
四、课堂小结
1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a2．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不确定的要分情况讨论）；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）不等式x≥2的含义是指x不小于2．（ ）
（2）若a（3）若a>b，则ac>bc一定成立．（ ）
提示：（1）正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
（2）正确．不等式a≤b表示a（3）错误．ac－bc＝（a－b）c，这与c的符号有关．
答案：（1）√（2）√（3）×
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是（ ）
A．a－b＞0B．a－b＜0
C．a－b≥0D．a－b≤0
答案：C
3．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2．（填“>”或“<”）．
答案：>
解析：因为（a2－ab）－（ba－b2）＝（a－b）2，又a>b，所以（a－b）2>0．
4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
解：由题意知，500x＋400y≤20 000，
即5x＋4y≤200．
【第2课时】
不等式及其性质
【教学过程】
一、新知初探
不等式的基本性质
（1）对称性：a＞b⇔b＜a．
（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．
（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．
（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc．
（5）加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．
（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．
（7）乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．
二、初试身手
1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）
A．a－b＞d－c
B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c
D．a－c＜a－d
答案：B
解析：根据不等式的性质判断．
2．与a>b等价的不等式是（ ）
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C．eq \f(a,b)>1
D．a3>b3
答案：D
解析：可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．
3．设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
答案：B
解析：∵xa2．
∵x2－ax＝x（x－a）>0，∴x2>ax．
又ax－a2＝a（x－a）>0，∴ax>a2．
∴x2>ax>a2．
三、合作探究
类型1：利用不等式性质判断命题真假
例1：对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
思路点拨：本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
答案：D
解析：法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，
故B为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))
⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，
故C为假命题；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1．
有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．
规律方法
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
跟踪训练
1．下列命题正确的是（ ）
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，则a＜b
答案：D
解析：A错，例如（－3）2＞22；B错，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b．
类型2：利用不等式性质证明简单不等式
例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2)．
思路点拨：可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴（a－c）2＞（b－d）2＞0．
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，
得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2)．
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2)．
母题探究
本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d)．
证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)．
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d)．
规律方法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
1．利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
2．应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
跟踪训练
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac证明：∵a>b，c>0，∴ac>bc．
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，
∴f－ac类型3：不等式性质的应用
探究问题
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴eq \f(1,3)又∵－6∴－2你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加（相乘），这种转化不是等价变形．本题中将2例3：已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
思路点拨：依据不等式的性质，找到－b与eq \f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
解：因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2．
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2．
又因为eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜eq \f(4,2)＝2，
即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2．
规律方法
求含字母的数或式子的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
跟踪训练
3．已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的取值范围．
解：∵－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)＜eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，
两式相加，得－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2)．
∵－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，
∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)＜eq \f(π,4)．
∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2)，
又知α＜β，∴eq \f(α－β,2)＜0．
故－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0．
四、课堂小结
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）若a>b，则ac>bc一定成立．（ ）
（2）若a＋c>b＋d，则a>b，c>d．（ ）
提示：（1）错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个负数时，不等号方向改变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
（2）错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2．满足a＋c>b＋d，但不满足a>b．
答案：（1）×（2）×
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．a－d＞b－cB．－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)
C．a＋d＞b＋cD．ac＞bd
答案：C
解析：由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得eq \f(1,d)＞eq \f(1,c)＞0．
又a＞b＞0，所以eq \f(a,d)＞eq \f(b,c)，－eq \f(a,d)＜－eq \f(b,c)，
即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C．
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是（ ）
A．－2＜α－β＜0B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0D．－1＜α－β＜1
答案：A
解析：由－1＜α＜1，－1＜β＜1，
得－1＜－β＜1．
∴－2＜α－β＜2，但α＜β．
故知－2＜α－β＜0．
4．若bc－ad≥0，bd>0．求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d)．
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d)．【教学目标】
【核心素养】
1．会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系．（难点）
2．会用比较法比较两实数的大小．（重点）
1．借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．
2．通过大小比较，培养逻辑推理素养．
文字语言
数学语言
等价条件
a－b是正数
a－b＞0
a＞b
a－b等于零
a－b＝0
a＝b
a－b是负数
a－b＜0
a＜b
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握不等式的性质．（重点）
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．（难点）
3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异．
1．通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．
2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养．