高中数学2.2.1 不等式及其性质第1课时学案

这是一份高中数学2.2.1 不等式及其性质第1课时学案，共14页。学案主要包含了作差法比较大小，利用不等式的性质判断或证明，利用不等式的性质求取值范围等内容，欢迎下载使用。

第1课时 不等式及其性质
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题．
导语
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系．比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．
一、作差法比较大小
问题1 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示 ①最低限速50 km/h，v≥50；②限制质量10 t，0<ω≤10；③限制高度3.5 m,0问题2 你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？
(1)某社会团体成员要求，男性成员人数m不多于50人，女性成员人数n不少于10人；
(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图)．
提示 (1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤50，m∈N＋，,n≥10，n∈N＋.))(2)设月薪为x元，则x≥3 000；(3)设三角形的三边分别为a，b，c则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b>c，,a－b问题3 在初中，我们知道实数与数轴上的点一一对应，所以可以利用实数在数轴上对应的点的位置关系来判断实数的大小关系，具体是如何判断的呢？
提示 设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
知识梳理
1．不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
2．常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示：
其中a≥b⇔a>b或a＝b，a≤b⇔a 3.(1)数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x)．
(2)比较两个实数(代数式)大小
作差法的理论依据：
a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a注意点：
(1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式；
(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；
(3)对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小．
例1 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究 1.若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)
＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，
∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解 若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
反思感悟 作差法比较大小的四个步骤
跟踪训练1 (1)下列不等式，正确的个数为( )
①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1)．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x；
②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，
∵(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，
∴②不一定正确；
③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．故①③正确，选C.
(2)若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为__________________．
答案 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
解析 ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0.
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
二、利用不等式的性质判断或证明
问题4 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？
(1)如果a＝b，那么b＝a；
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示 (1)如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c；
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c；(4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac知识梳理
1．不等式的性质
2.不等式的推论
例2 (1)已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
答案 C
解析 由于b<2a,3d则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故选C.
(2)若c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
证明 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a因为c>a，所以c－a>0，所以0上式两边同乘eq \f(1,c－ac－b)，
得eq \f(1,c－a)>eq \f(1,c－b)>0.
又因为a>b>0，所以eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
反思感悟 利用不等式的性质解决问题的注意点
(1)在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
(2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立条件，不可省略条件或跳步推导．
跟踪训练2 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．eq \f(c,a)0⇒a>b
B．a>b且c>d⇒ac>bd
C．a>b>0且c>d>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))
D．eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)⇒a>b
答案 CD
解析 A中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)<\f(c,b)，,c>0))⇒eq \f(1,a)当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，错误；
B中，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，错误；
C中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>b>0，,c>d>0))⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c)>0⇒eq \r(\f(a,d))>eq \r(\f(b,c))成立，正确；
D中，显然c2>0，
∴两边同乘以c2得a>b，正确．
(2)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，ceq \f(b,d)
D．若a2>b2，则－a<－b
答案 B
解析 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才成立，否则如a＝－2，b＝－1时不成立，故选B.
三、利用不等式的性质求取值范围
例3 已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
解 (1)因为－1所以－3<－y<－2，所以－4(2)由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
延伸探究
1．若将本例条件改为－1解 因为－1所以－3<－y<1，所以－4又因为x故x－y的取值范围为(－4,0)．
2．若将本例条件改为－1解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,m－n＝2，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)，))
即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)，
又因为－1所以－eq \f(5,2)所以－eq \f(3,2)即－eq \f(3,2)<3x＋2y所以3x＋2y的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(23,2))).
反思感悟 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
跟踪训练3 已知1答案 (－3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，2))
解析 ∵3∴1－4又eq \f(1,4)1．知识清单：
(1)作差法比较大小．
(2)不等式的性质．
(3)利用不等式的性质求范围．
2．方法归纳：作差法．
3．常见误区：
(1)不注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性．
(2)不注意讨论．
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000可表示为“x<2 000”
B．小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
答案 C
解析 对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；
对于B，x，y应满足x对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
答案 C
解析 由a＋b>0，知a>－b，
∴－a∴－b>0，
∴a>－b>b>－a.
3．(多选) 若eq \f(1,a)A．|a|>|b| B．aC．a＋bb3
答案 CD
解析 由eq \f(1,a)从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，则a＋ba3>b3，D正确．
4．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
答案 C
解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，所以ab>ac.
5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
答案 m3>m2－m＋1
解析 ∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，
∴(m－1)(m2＋1)>0.
∴m3>m2－m＋1.
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒eq \f(1,2)厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )
A．4×2x≥100 B．4×2x≤100
C．4×2x>100 D．4×2x<100
答案 C
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
2．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5 B．M<－5
C．M＝－5 D．不能确定
答案 A
解析 M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5>－5.
3．若x>0，y>0，M＝eq \f(x＋y,1＋x＋y)，N＝eq \f(x,1＋x)＋eq \f(y,1＋y)，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N
答案 B
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，
∴eq \f(x,1＋x＋y)故M＝eq \f(x＋y,1＋x＋y)＝eq \f(x,1＋x＋y)＋eq \f(y,1＋x＋y)4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
答案 A
解析 由－1<α<1，－1<β<1，
得－1<－β<1，
所以－2<α－β<2.
又因为α<β，
故－2<α－β<0.
5．(多选)已知a>b>1，下列不等式一定成立的有( )
A．a2>b2 B.eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)
C．a3＋b3>2a2b D．a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a)
答案 ABD
解析 a>b>1，则a2>b2，A正确；
∵a>b>1，∴eq \r(ab)>b，∴(eq \r(a－b))2－(eq \r(a)－eq \r(b))2
＝2(eq \r(ab)－b)>0，
又∵eq \r(a－b)>0，eq \r(a)－eq \r(b)>0，
∴eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)，B正确；
取a＝2，b＝eq \f(3,2)，计算得到a3＋b3＝8＋eq \f(27,8)<2a2b＝12，C错误；
∵a＋eq \f(1,b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,a)))＝a－b＋eq \f(1,b)－eq \f(1,a)
＝(a－b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,ab)))>0，
∴a＋eq \f(1,b)>b＋eq \f(1,a)，D正确．
6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)·(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)
答案 <
解析 因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
7．不等式a>b是eq \f(1,a)>eq \f(1,b)成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 既不充分也不必要
解析 由a>b不能推出eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，
由eq \f(1,a)>eq \f(1,b)也不能推出a>b，
所以不等式a>b是eq \f(1,a)>eq \f(1,b)成立的既不充分也不必要条件．
8．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为________．
答案 8(x＋19)>2 200
解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示．
9．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)且z＝1时取等号．
10．已知m，n是正实数，证明：eq \f(m3,n)＋eq \f(n3,m)≥m2＋n2.
证明 因为eq \f(m3,n)＋eq \f(n3,m)－m2－n2＝eq \f(m3－n3,n)＋eq \f(n3－m3,m)
＝eq \f(m3－n3m－n,mn)
＝eq \f(m－n2m2＋mn＋n2,mn).
又m，n均为正实数，
所以eq \f(m－n2m2＋mn＋n2,mn)≥0，
所以eq \f(m3,n)＋eq \f(n3,m)≥m2＋n2.当且仅当m＝n时取等号．
11．若a，b为实数，则“0eq \f(1,a)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 对于00，则b>0，aeq \f(1,a)成立，因此“0eq \f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，aeq \f(1,a)成立，但0eq \f(1,a)”的必要条件，即“0eq \f(1,a)”的充分不必要条件．
12．已知c>1，且x＝eq \r(c＋1)－eq \r(c)，y＝eq \r(c)－eq \r(c－1)，则x，y之间的大小关系是( )
A．x>y B．x＝y
C．x答案 C
解析 x＝eq \r(c＋1)－eq \r(c)＝eq \f(1,\r(c＋1)＋\r(c))，
y＝eq \r(c)－eq \r(c－1)＝eq \f(1,\r(c)＋\r(c－1))，
∵c>1，
∴eq \r(c＋1)＋eq \r(c)>eq \r(c)＋eq \r(c－1)>0，
∴x13．给出下列命题：
①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2.其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①当c2＝0时不成立；②一定成立；
③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(b,2)))2＋\f(3,4)b2))>0成立；
④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
14．已知三个不等式①ab>0；②eq \f(c,a)>eq \f(d,b)；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
答案 3
解析 ①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
由②得eq \f(bc－ad,ab)>0，
又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.
所以可以组成3个正确命题．
15．已知－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，则eq \f(α－β,2)的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))
解析 ∵－eq \f(π,2)≤α<β≤eq \f(π,2)，
∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)－eq \f(π,4)∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)由①＋②得－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)又知α<β，∴α－β<0.
∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)<0.
16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
解 设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝eq \f(\f(1,2)s,v1)＋eq \f(\f(1,2)s,v2)，乙用时t2＝eq \f(2s,v1＋v2)，
t1－t2＝eq \f(s,2v1)＋eq \f(s,2v2)－eq \f(2s,v1＋v2)＝seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v1＋v2,2v1v2)－\f(2,v1＋v2)))
＝eq \f(v1＋v22－4v1v2,2v1v2v1＋v2)·s＝eq \f(v1－v22·s,2v1v2v1＋v2)>0，
即t1>t2，
所以甲用时多．所以乙先到达教室．文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
性质
别名
内容
性质1
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
性质2
可乘性
a>b，c>0⇒ac>bc
性质3
a>b，c<0⇒ac性质4
传递性
a>b，b>c⇒a>c
性质5
对称性
a>b⇔b推论
别名
内容
推论1
移项法则
a＋b>c⇔a>c－b
推论2
同向不等式相加
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d
推论3
同向不等式相乘
a>b>0, c>d>0⇒ac>bd
推论4
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)
推论5
可开方性
a>b>0⇒eq \r(a)>eq \r(b)