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高中数学1.2.1 空间中的点、直线与空间向量教学课件ppt
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这是一份高中数学1.2.1 空间中的点、直线与空间向量教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了直线的方向向量，提示可以可以，或重合，a∥l，注意点，反思感悟，不存在，直线的法向量，v⊥l，互相垂直等内容，欢迎下载使用。
1.理解直线的方向向量、法向量的概念.
2.会求直线的方向向量和法向量.
3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.
同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题.
问题1 如图，A，B为直线l上任意两点，向量 可以描述直线l相对于x轴的倾斜程度吗？若非零向量a在如图位置，那么a也可以描述直线l相对于x轴的倾斜程度吗？
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_____ ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作 .(1)a＝ 表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量.b＝ 表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量.(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 .(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则 ＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量.
(1)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1,－1)，则y等于
由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，
又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，
∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线.
∵kAB＝kAC，∴A，B，C三点共线.
直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P，Q，则 为直线l的一个方向向量.(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量.(3)a＝(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量.
(1)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝______.
依题意，直线l垂直于x轴，∴m＝0，n为任意非零实数，∴mn＝0.
(2)已知直线l经过点P(1,2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为
由题意得，直线l的一个方向向量为 ＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，
直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系
问题2 直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？
1.如果直线l的倾斜角为θ，则a＝ 为直线l的一个方向向量.如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.2.如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线的斜率 ，倾斜角为 ；当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan θ＝ .
(cs θ，sin θ)
(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cs θ，sin θ).
(1)直线l的方向向量为 ，则直线l的倾斜角的取值范围是_______________.
∴cs α≠0，sin α≠±1.令直线l的倾斜角为θ，
(2)直线l过点P(1，－3)，Q(4， －3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角.
直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cs θ，sin θ)为直线l的一个方向向量.如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.
(1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为______，一个方向向量为__________.
(2)经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是A.1 B.－1 C.2 D.－2
问题3 若a＝(1,2)是直线l的一个方向向量.你能求出与a垂直的一个向量吗？提示 设v＝(x，y)，且v⊥a，则x＋2y＝0，令x＝2，则y＝－1.故v＝(2，－1)即为与a垂直的一个向量.
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l ，则称向量v为直线l的一个法向量，记作 .(1)一条直线的方向向量与法向量 .(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝_________为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝ 为直线l的方向向量.
(1)任意直线都有法向量.(2)直线的法向量不唯一.(3)直线的法向量是非零向量.
(1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为A.(－1,4) B.(2,5)C.(5，－2) D.(－1，－4)
∴直线l的法向量v＝(－1，－4).
(2)直线l的法向量为v＝( ，－3)，则直线l的斜率为____，倾斜角为_____.
直线的法向量的求法若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可.
(1)直线PQ的斜率为 ，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°
∴PQ的倾斜角为120°，又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝____.
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，∴m＝7.
1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系. (3)直线的法向量.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆.
2.直线AB的方向向量a＝(3， )，则该直线的倾斜角为A.45° B.60° C.120° D.150°
又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.
3.直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为A.k1>k2 B.k1＝k2C.k1
v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)，
4.已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是_______________________.
(－∞，－2]∪[2，＋∞)
∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
综上有k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
又△ABC为等边三角形，∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，∴kAB＋kAC＝tan 60°＋tan 120°＝0.
6.(多选)下列说法正确的是A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为 (0,1)B.若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝C.若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方 向向量D.任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.
7.直线l的一个法向量为u＝(3， )，则直线l的倾斜角为____.
8.已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m＝________.
9.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；
倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ>0，
即(m＋2)(m－4)<0，解得－2
直线MN的方向向量为a＝(0，－2 021)，∴直线MN的斜率不存在.故过M，N两点的直线垂直于x轴.∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
10.已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量.求的最小值.
∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，∴2a－3(1－b)＝0，即2a＋3b＝3，
∴PQ的倾斜角为120°.绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
∴与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12.将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为A. B.1 C.2 D.4
设直线l上一点为A(m，n)，则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a).∵A与A′都在直线l上，
∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
13.直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为
直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
∴k∈[－1,0)，∴tan θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，
14.已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为______.
∵A，B，C不能构成一个三角形，∴A，B，C三点共线.
即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形.
15.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为___________.
直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，
即k∈[－3，－1].
16.已知过原点O的一条直线与函数y＝lg8 x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝lg2 x的图象交于C，D两点.求证：点O，C，D在同一条直线上.
1.理解直线的方向向量、法向量的概念.
2.会求直线的方向向量和法向量.
3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.
同学们，上节课我们求了直线的倾斜角和斜率，我们知道如果直线有斜率，只需知直线上的任意两点，就可以求直线的斜率，也知道两点确定一条直线，我们今天就来研究一下两点的直线的方向问题.
问题1 如图，A，B为直线l上任意两点，向量 可以描述直线l相对于x轴的倾斜程度吗？若非零向量a在如图位置，那么a也可以描述直线l相对于x轴的倾斜程度吗？
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_____ ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作 .(1)a＝ 表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量.b＝ 表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量.(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 .(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则 ＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
(1)任意的直线都有方向向量；(2)任意直线的方向向量不唯一；(3)直线的方向向量是非零向量.
(1)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1,－1)，则y等于
由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，
又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，
∴(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线.
∵kAB＝kAC，∴A，B，C三点共线.
直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P，Q，则 为直线l的一个方向向量.(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量.(3)a＝(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量.
(1)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝______.
依题意，直线l垂直于x轴，∴m＝0，n为任意非零实数，∴mn＝0.
(2)已知直线l经过点P(1,2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为
由题意得，直线l的一个方向向量为 ＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，
直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系
问题2 直线的方向向量与直线的倾斜角、斜率有什么样的关系？
1.如果直线l的倾斜角为θ，则a＝ 为直线l的一个方向向量.如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.2.如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线的斜率 ，倾斜角为 ；当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan θ＝ .
(cs θ，sin θ)
(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)；(2)斜率存在时的直线的方向向量a＝(1，k)；(3)任意直线的方向向量可表示为a＝(cs θ，sin θ).
(1)直线l的方向向量为 ，则直线l的倾斜角的取值范围是_______________.
∴cs α≠0，sin α≠±1.令直线l的倾斜角为θ，
(2)直线l过点P(1，－3)，Q(4， －3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角.
直线的方向向量与倾斜角、斜率之间的关系如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cs θ，sin θ)为直线l的一个方向向量.如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.
(1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为______，一个方向向量为__________.
(2)经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是A.1 B.－1 C.2 D.－2
问题3 若a＝(1,2)是直线l的一个方向向量.你能求出与a垂直的一个向量吗？提示 设v＝(x，y)，且v⊥a，则x＋2y＝0，令x＝2，则y＝－1.故v＝(2，－1)即为与a垂直的一个向量.
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l ，则称向量v为直线l的一个法向量，记作 .(1)一条直线的方向向量与法向量 .(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝_________为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝ 为直线l的方向向量.
(1)任意直线都有法向量.(2)直线的法向量不唯一.(3)直线的法向量是非零向量.
(1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为A.(－1,4) B.(2,5)C.(5，－2) D.(－1，－4)
∴直线l的法向量v＝(－1，－4).
(2)直线l的法向量为v＝( ，－3)，则直线l的斜率为____，倾斜角为_____.
直线的法向量的求法若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可.
(1)直线PQ的斜率为 ，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°
∴PQ的倾斜角为120°，又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝____.
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，∴m＝7.
1.知识清单： (1)直线的方向向量. (2)直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系. (3)直线的法向量.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆.
2.直线AB的方向向量a＝(3， )，则该直线的倾斜角为A.45° B.60° C.120° D.150°
又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.
3.直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为A.k1>k2 B.k1＝k2C.k1
v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)，
4.已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是_______________________.
(－∞，－2]∪[2，＋∞)
∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
综上有k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
又△ABC为等边三角形，∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，∴kAB＋kAC＝tan 60°＋tan 120°＝0.
6.(多选)下列说法正确的是A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为 (0,1)B.若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝C.若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方 向向量D.任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.
7.直线l的一个法向量为u＝(3， )，则直线l的倾斜角为____.
8.已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m＝________.
9.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1).(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；
倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ>0，
即(m＋2)(m－4)<0，解得－2
直线MN的方向向量为a＝(0，－2 021)，∴直线MN的斜率不存在.故过M，N两点的直线垂直于x轴.∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
10.已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量.求的最小值.
∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，∴2a－3(1－b)＝0，即2a＋3b＝3，
∴PQ的倾斜角为120°.绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
∴与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12.将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为A. B.1 C.2 D.4
设直线l上一点为A(m，n)，则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a).∵A与A′都在直线l上，
∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
13.直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为
直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
∴k∈[－1,0)，∴tan θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，
14.已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为______.
∵A，B，C不能构成一个三角形，∴A，B，C三点共线.
即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形.
15.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为___________.
直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，
即k∈[－3，－1].
16.已知过原点O的一条直线与函数y＝lg8 x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝lg2 x的图象交于C，D两点.求证：点O，C，D在同一条直线上.
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