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    新人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.1不等式及其性质学案
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    高中人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质学案设计

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    这是一份高中人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质学案设计,共10页。

    知识点一 实数大小比较
    1.文字叙述
    如果a-b是________,那么a>b;
    如果a-b________,那么a=b;
    如果a-b是________,那么a<b,反之也成立.
    2.符号表示
    a-b>0⇔a________b;
    a-b=0⇔a________b;
    a-b<0⇔a________b.
    状元随笔 比较两实数a,b的大小,只需确定它们的差a -b与0的大小关系,与差的具体数值无关.因此,比较两实数a,b的大小,其关键在于经过适当变形,能够确认差a -b的符号,变形的常用方法有配方、分解因式等.
    知识点二 不等式的性质
    状元随笔 (1)性质3是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a +b>c ⇒a>c -b. 性质3是可逆性的,即a>b ⇔a +c>b +c.
    (2)注意不等式的单向性和双向性.性质1和3是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.
    (3)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定势.
    基础自测
    1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是提示司机要安全通过该桥,应使车和货物的总质量T满足关系( )
    A.T<40 B.T>40
    C.T≤40D.T≥40
    2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是( )
    A.M>NB.M=N
    C.M<ND.与x有关
    3.已知x<a<0,则一定成立的不等式是( )
    A.x2<a2<0B.x2>ax>a2
    C.x2<ax<0D.x2>a2>ax
    4.不等式组2x+1>012x-3≤0的解集为________.
    课堂探究·素养提升——强化创新性
    题型1 比较大小[教材P61例2]
    例1 比较x2-x和x-2的大小.
    【解析】 因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
    又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,从而(x2-x)-(x-2)>0,
    因此x2-x>x-2.
    状元随笔 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.
    教材反思
    用作差法比较两个实数大小的四步曲
    跟踪训练1 若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )
    A.f(x)<g(x)
    B.f(x)=g(x)
    C.f(x)>g(x)
    D.随x值变化而变化
    题型2 不等式的性质[经典例题]
    例2 对于实数a、b、c,有下列说法:
    ①若a>b,则ac<bc;
    ②若ac2>bc2,则a>b;
    ③若a<b<0,则a2>ab>b2;
    ④若c>a>b>0,则ac-a>bc-b;
    ⑤若a>b,1a>1b,则a>0,b<0.
    其中正确的个数是( )
    A.2 B.3
    C.4D.5
    方法归纳
    (1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不凭想当然随意捏造性质.
    (2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
    跟踪训练2 (1)已知a<b,那么下列式子中,错误的是( )
    利用不等式的性质,解题关键找准使不等式成立的条件.
    A.4a<4b
    B.-4a<-4b
    C.a+4<b+4
    D.a-4<b-4
    (2)(多选)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中不正确的是( )
    A.若a>b,c≠0,则ac>bc
    B.若a>b,则ac2>bc2
    C.若ac2>bc2,则a>b
    D.若a>b,则1a<1b
    题型3 利用不等式性质求范围[经典例题]
    例3 已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列代数式的取值范围:
    (1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.
    状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围,关键是把握不等号的方向.
    方法归纳
    利用不等式性质求范围的一般思路
    (1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;
    (2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;
    (3)结合不等式的传递性进行求解.
    跟踪训练3 已知实数x,y满足:1<x<2<y<3,
    (1)求xy的取值范围;
    (2)求x-2y的取值范围.
    状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解;
    (2)求出-2y的取值范围后,利用不等式的性质5即可求x -2y的取值范围.
    2.2 不等式
    2.2.1 不等式及其性质
    新知初探·自主学习
    知识点一
    1.正数 等于0 负数
    2.> = <
    知识点二
    bc a+c>b+c ac>bc acb+d ac>bd an>bn na>nb
    [基础自测]
    1.解析:“限重40吨”是不超过40吨的意思.
    答案:C
    2.解析:因为M-N=x2+x+1=x+122+34>0,所以M>N.
    答案:A
    3.解析:因为xa2;不等号两边同时乘x,则x2>ax,故x2>ax>a2.
    答案:B
    4.解析:x>-12x≤6,∴-12答案:-12,6
    课堂探究·素养提升
    跟踪训练1 解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)
    =x2-2x+2=(x-1)2+1>0,
    所以f(x)>g(x).故选C.
    答案:C
    例2 【解析】 对于①,令c=0,则有ac=bc.①错.
    对于②,由ac2>bc2,知c≠0,∴c2>0⇒a>b.②对.
    对于③,由a两边同乘以a得a2>ab,两边同乘以b得ab>b2,
    ∴a2>ab>b2.③对.
    对于④,c>a>b>0⇒c-a>0,c-b>0a>b⇒-a<-b⇒c-a⇒1c-a>1c-b>0a>b>0⇒ac-a>bc-b.④对.
    对于⑤,a>b⇒a-b>01a>1b⇒b-aab>0⇒ab<0a>b⇒a>0,b<0.⑤对.
    故选C.
    【答案】 C
    跟踪训练2 解析:(1)根据不等式的性质,a0⇒4a<4b,A项正确;a-4b,B项错误;a(2)对于选项A,当c<0时,不正确;对于选项B,当c=0时,不正确;对于选项C,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴一定有a>b.故选项C正确;对于选项D,当a>0,b<0时,不正确.
    答案:(1)B (2)ABD
    例3 【解析】 (1)|a|∈[0,3];(2)-1(3)依题意得-2(4)由-2由1≤b<2得-6<-3b≤-3,②
    由①②得,-10<2a-3b≤3.
    跟踪训练3 解析:(1)∵1(2)由(1)知1理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
    性质
    别名
    性质内容
    注意
    1
    对称性
    a>b⇔________
    可逆
    2
    传递性
    a>b,b>c⇒________
    3
    可加性
    a>b⇔________
    可逆
    4
    可乘性
    a>bc>0⇒________
    c的符号
    a>bc<0⇒________
    5
    同向
    可加性
    a>bc>d⇒________
    同向
    6
    同向同正
    可乘性
    a>b>0c>d>0⇒________
    同向
    7
    可乘方性
    a>b>0⇒________
    (n∈N,n≥2)
    同正
    8
    可开方
    a>b>0⇒________(n∈N,n≥2)
    同正
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