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人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质教学ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)2.2.1 不等式及其性质教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了作差法比较大小，提示CDCE，知识梳理，ab或a＝b，点P的坐标，a－b0，注意点，反思感悟，不等式的性质，不等式的推论等内容，欢迎下载使用。
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.
3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.
问题1 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示 ①最低限速50 km/h，v≥50；②限制质量10 t，0<ω≤10；③限制高度3.5 m，0
(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；
提示 设月薪为x元，则x≥3 000；
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图).
问题3 在初中，我们知道实数与数轴上的点一一对应，所以可以利用实数在数轴上对应的点的位置关系来判断实数的大小关系，具体是如何判断的呢？
提示 设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
1.不等关系与不等式我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
2.常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示：
其中a≥b⇔ ，a≤b⇔ .
3.(1)数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为 ，并记作 .(2)比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：a>b⇔ ；a＝b⇔a－b＝0；a
已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究 1.若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2).∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2.对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
作差法比较大小的四个步骤
(1)下列不等式，正确的个数为①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1).A.0 B.1C.2 D.3
①∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，∵(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，∴②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确，选C.
利用不等式的性质判断或证明
问题4 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？(1)如果a＝b，那么b＝a；
提示 如果a>b，那么b
提示 如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c；
提示 如果a>b，那么a＋c>b＋c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示 如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么acb－3d B.2ac>3bdC.2a＋c>b＋3d D.2a＋3d>b＋c
由于b<2a,3da，所以c－a>0，所以0
(1)(多选)下列命题正确的是
当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，错误；B中，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，错误；
D中，显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b，正确.
(2)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是A.若a>b，c>b，则a>cB.若a>－b，则c－ab，cb2，则－a<－b
选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才成立，否则如a＝－2，b＝－1时不成立，故选B.
利用不等式的性质求取值范围
已知－1
由－1
又因为－1
已知1
1.下列说法正确的是A.某人月收入x不高于2 000可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x
由a＋b>0，知a>－b，∴－a0，∴a>－b>b>－a.
3.(多选) 若 <0，则下面四个不等式中正确的是A.|a|>|b| B.ab3
从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋bb3，D正确.
4.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是A.ab>bc B.ac>bcC.ab>ac D.a|b|>|b|c
因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
5.当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_____________.
∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1).又∵m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0.∴m3>m2－m＋1.
1.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒 厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为A.4×2x≥100 B.4×2x≤100C.4×2x>100 D.4×2x<100
当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
2.若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是A.M>－5 B.M<－5C.M＝－5 D.不能确定
M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5>－5.
∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，
4.若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1
由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2.又因为α<β，故－2<α－β<0.
5.(多选)已知a>b>1，下列不等式一定成立的有
a>b>1，则a2>b2，A正确；
6.已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)______(a＋2)·(a－4).(填“>”“<”或“＝”)
因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
7.不等式a>b是 成立的___________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
8.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为______________.
8(x＋19)>2 200
因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示.
9.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.
∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
A.x>y B.x＝yC.x
①当c2＝0时不成立；②一定成立；
④当b<0时，不一定成立.如：|2|>－3，但22<(－3)2.
14.已知三个不等式①ab>0；② ；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成_____个正确命题.
①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题.
又知α<β，∴α－β<0.
16.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.
2.学会用作差法比较两实数(代数式)的大小.
3.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.
大家知道，相等关系与不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的关系.比如说：长与短、远与近的比较；比如说：同学们之间高与矮、轻与重的比较；比如说：国家人口的多少、面积的大小的比较；正所谓：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.
问题1 生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？
提示 ①最低限速50 km/h，v≥50；②限制质量10 t，0<ω≤10；③限制高度3.5 m，0
(2)某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3 000；
提示 设月薪为x元，则x≥3 000；
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图).
问题3 在初中，我们知道实数与数轴上的点一一对应，所以可以利用实数在数轴上对应的点的位置关系来判断实数的大小关系，具体是如何判断的呢？
提示 设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a
1.不等关系与不等式我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.
2.常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示：
其中a≥b⇔ ，a≤b⇔ .
3.(1)数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为 ，并记作 .(2)比较两个实数(代数式)大小作差法的理论依据：a>b⇔ ；a＝b⇔a－b＝0；a
已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
延伸探究 1.若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2).∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2.对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
作差法比较大小的四个步骤
(1)下列不等式，正确的个数为①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1).A.0 B.1C.2 D.3
①∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，∵(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，∴②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确，选C.
利用不等式的性质判断或证明
问题4 你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？(1)如果a＝b，那么b＝a；
提示 如果a>b，那么b
提示 如果a>b，b>c，那么a>c；
(3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c；
提示 如果a>b，那么a＋c>b＋c；
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
提示 如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac
由于b<2a,3d
(1)(多选)下列命题正确的是
当a<0，b>0时，满足已知条件，但推不出a>b，错误；B中，当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，错误；
D中，显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b，正确.
(2)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是A.若a>b，c>b，则a>cB.若a>－b，则c－a
选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0
利用不等式的性质求取值范围
已知－1
由－1
又因为－1
已知1
1.下列说法正确的是A.某人月收入x不高于2 000可表示为“x<2 000”B.小明的身高为x cm，小华的身高为y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”
对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x
由a＋b>0，知a>－b，∴－a
3.(多选) 若 <0，则下面四个不等式中正确的是A.|a|>|b| B.a
从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b
4.已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是A.ab>bc B.ac>bcC.ab>ac D.a|b|>|b|c
因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
5.当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_____________.
∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1).又∵m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0.∴m3>m2－m＋1.
1.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒 厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为A.4×2x≥100 B.4×2x≤100C.4×2x>100 D.4×2x<100
当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
2.若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是A.M>－5 B.M<－5C.M＝－5 D.不能确定
M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5>－5.
∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0，
4.若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是A.－2<α－β<0 B.－2<α－β<－1C.－1<α－β<0 D.－1<α－β<1
由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2.又因为α<β，故－2<α－β<0.
5.(多选)已知a>b>1，下列不等式一定成立的有
a>b>1，则a2>b2，A正确；
6.已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)______(a＋2)·(a－4).(填“>”“<”或“＝”)
因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
7.不等式a>b是 成立的___________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
8.一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为______________.
8(x＋19)>2 200
因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200来表示.
9.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.
∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
A.x>y B.x＝yC.x
①当c2＝0时不成立；②一定成立；
④当b<0时，不一定成立.如：|2|>－3，但22<(－3)2.
14.已知三个不等式①ab>0；② ；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成_____个正确命题.
①②⇒③，③①⇒②.(证明略)
又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题.
又知α<β，∴α－β<0.
16.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
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