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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质学案

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质学案,共8页。

      2.2.1 不等式及其性质

    最新课程标准:理解不等式的概念,掌握不等式的性质.

     

    知识点一 实数大小比较

    1.文字叙述

    如果a-b是正数,那么a>b;

    如果a-b等于0,那么a=b;

    如果a-b是负数,那么a<b,反之也成立.

    2.符号表示

    a-b>0a>b;

    a-b=0ab;

    a-b<0a<b.

     比较两实数a,b的大小,只需确定它们的差a -b与0的大小关系,与差的具体数值无关.因此,比较两实数a,b的大小,其关键在于经过适当变形,能够确认差a -b的符号,变形的常用方法有配方、分解因式等.

    知识点二 不等式的性质

     

    性质

    别名

    性质内容

    注意

    1

    对称性

    a>bb<a

    可逆

    2

    传递性

    a>b,b>ca>c

     

    3

    可加性

    a>ba+c>b+c

    可逆

    4

    可乘性

    ac>bc

    c的符号

    ac<bc

    5

    同向

    可加性

    a+c>b+d

    同向

    6

    同向同正

    可乘性

    ac>bd

    同向

    7

    可乘方性

    a>b>0an>bn

    (n∈N,n≥2)

    同正

    8

    可开方

    a>b>0>(n∈N,n≥2)

    同正

     

     (1)性质3是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a +b>c a>c -b. 性质3是可逆性的,即a>b a +c>b +c.

    (2)注意不等式的单向性和双向性.性质1和3是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.

    (3)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件. 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定势.

    [基础自测]

    1大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是提示司机要安全通过该桥,应使车和货物的总质量T满足关系(  )

    A.T<40  B.T>40

    C.T≤40  D.T≥40

    解析:“限重40吨”是不超过40吨的意思.

    答案:C

    2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(  )

    A.M>N  B.M=N

    C.M<N  D.与x有关

    解析:因为M-N=x2+x+1=2>0,所以M>N.

    答案:A

    3.已知x<a<0,则一定成立的不等式是(  )

    A.x2<a2<0  B.x2>ax>a2

    C.x2<ax<0  D.x2>a2>ax

    解析:因为x<a<0,不等号两边同时乘a,则ax>a2;不等号两边同时乘x,则x2>ax,故x2>ax>a2.

    答案:B

    4.不等式组的解集为________.

    解析:,∴-<x≤6.

    答案:

     

    题型一 比较大小[教材P61例2]

    例1 比较x2-x和x-2的大小.

    【解析】 因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

    又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,从而(x2-x)-(x-2)>0,

    因此x2-x>x-2.

     通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.

     

    教材反思

    用作差法比较两个实数大小的四步曲

    跟踪训练1 若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是(  )

    A.f(x)<g(x)

    B.f(x)=g(x)

    C.f(x)>g(x)

    D.随x值变化而变化

    解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)

    =x2-2x+2=(x-1)2+1>0,

    所以f(x)>g(x).故选C.

    答案:C

     

    题型二 不等式的性质[经典例题]

    例2 对于实数a、b、c,有下列说法:

    ①若a>b,则ac<bc;

    ②若ac2>bc2,则a>b;

    ③若a<b<0,则a2>ab>b2

    ④若c>a>b>0,则>

    ⑤若a>b,>,则a>0,b<0.

    其中正确的个数是(  )

    A.2  B.3

    C.4    D.5

    【解析】 对于①,令c=0,则有ac=bc.①错.

    对于②,由ac2>bc2,知c≠0,

    ∴c2>0a>b.②对.

    对于③,由a<b<0,

    两边同乘以a得a2>ab,

    两边同乘以b得ab>b2

    ∴a2>ab>b2.③对.

    对于④,0<c-a<c-b

    >.④对.

    对于⑤, a>0,b<0.⑤对.

    故选C.

    【答案】 C

     

    方法归纳

    (1)首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不凭想当然随意捏造性质.

    (2)解决有关不等式选择题时,也可采用特值法进行排除,注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.

    跟踪训练2 (1)已知a<b,那么下列式子中,错误的是(  )

    A.4a<4b 

    B.-4a<-4b

    C.a+4<b+4 

    D.a-4<b-4

    (2)对于任意实数a,b,c,d,下列命题中正确的是(  )

    A.若a>b,c≠0,则ac>bc

    B.若a>b,则ac2>bc2

    C.若ac2>bc2,则a>b

    D.若a>b,则<

    解析:(1)根据不等式的性质,a<b,4>04a<4b,A项正确;a<b,-4<0-4a>-4b,B项错误;a<ba+4<b+4,C项正确;a<ba-4<b-4,D项正确.

    (2)对于选项A,当c<0时,不正确;对于选项B,当c=0时,不正确;对于选项C,∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0,∴一定有a>b.故选项C正确;对于选项D,当a>0,b<0时,不正确.

    答案:(1)B (2)C

    利用不等式的性质,解题关键找准使不等式成立的条件.

    题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]

    例3 已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列代数式的取值范围:

    (1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.

    【解析】 (1)|a|∈[0,3];(2)-1<a+b<5;

    (3)依题意得-2<a≤3,-2<-b≤-1,相加得-4<a-b≤2;

    (4)由-2<a≤3得-4<2a≤6,①

    由1≤b<2得-6<-3b≤-3,②

    由①②得,-10<2a-3b≤3.

     运用不等式性质研究代数式的取值范围,关键是把握不等号的方向.

     

     

    方法归纳

    利用不等式性质求范围的一般思路

    (1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答;

    (2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件;

    (3)结合不等式的传递性进行求解.

     

    跟踪训练3 已知实数x,y满足:1<x<2<y<3,

    (1)求xy的取值范围;

    (2)求x-2y的取值范围.

     

    解析:(1)∵1<x<2<y<3,∴1<x<2,2<y<3,则2<xy<6,则xy的取值范围是(2,6).

    (2)由(1)知1<x<2,2<y<3,从而-6<-2y<-4,则-5<x-2y<-2,即x-2y的取值范围是(-5,-2).

     (1)根据不等式的性质6可直接求解;

    (2)求出-2y的取值范围后,利用不等式的性质5即可求x -2y的取值范围.

     

     

    课时作业 10

    一、选择题

    1.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A、B的大小关系是(  )

    A.A≤B   B.A≥B

    C.A<B或A>B  D.A>B

    解析:因为A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=2b2≥0,所以A≥B.

    答案:B

    2.已知:a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是(  )

    A.若a>b,c>b,则a>c  B.若a>-b,则c-a<c+b

    C.若a>b,c<d,则>     D.若a2>b2,则-a<-b

    解析:选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立;选项C不满足倒数不等式的条件,如a>b>0,c<0<d时,不成立;选项D只有a>b>0时才可以.否则如a=-1,b=0时不成立.

    答案:B

    3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是(  )

    A.-2<α-β<0  B.-2<α-β<-1

    C.-1<α-β<0  D.-1<α-β<1

    解析:∵-1<β<1,∴-1<-β<1.

    又-1<α<1,∴-2<α+(-β)<2,

    又α<β,∴α-β<0,即-2<α-β<0.故选A.

    答案:A

    4.有四个不等式:①|a|>|b|;②a<b;③a+b<ab;④a3>b3.若<<0,则不正确的不等式的个数是(  )

    A.0  B.1

    C.2  D.3

    解析:<<0可得b<a<0,从而|a|<|b|,①不正确;a>b,②不正确;a+b<0,ab>0,则a+b<ab成立,③正确;a3>b3,④正确.故不正确的不等式的个数为2.

    答案:C

    二、填空题

    5.已知a,b均为实数,则(a+3)(a-5)________(a+2)(a-4)(填“>”“<”或“=”).

    解析:因为(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0,所以(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).

    答案:<

    6.如果a>b,那么c-2a与c-2b中较大的是________.

    解析:c-2a-(c-2b)=2b-2a=2(b-a)<0.

    答案:c-2b

    7.给定下列命题:

    ①a>ba2>b2;②a2>b2a>b;③a>b<1;④a>b,c>dac>bd;⑤a>b,c>da-c>b-d.

    其中错误的命题是________(填写相应序号).

    解析:由性质7可知,只有当a>b>0时,a2>b2才成立,故①②都错误;对于③,只有当a>0且a>b时,<1才成立,故③错误;由性质6可知,只有当a>b>0,c>d>0时,ac>bd才成立,故④错误;对于⑤,由c>d得-d>-c,从而a-d>b-c,故⑤错误.

    答案:①②③④⑤

    三、解答题

    8.已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.

    解析:x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1

    =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2

    =(x-1)(x2-x+1)=(x-1)·

    因为x<1,所以x-1<0,

    又因为2>0,

    所以(x-1)<0,

    所以x3-1<2x2-2x.

    9.若bc-ad≥0,bd>0.求证:.

    证明:因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,

    因为bd>0,所以

    所以+1≤+1,所以.

    [尖子生题库]

    10设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.

    解析:方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),

    则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,

    于是得,解得

    ∴f(-2)=3f(-1)+f(1).

    又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,

    故f(-2)的取值范围是[5,10].

    方法二 由,得

     

    ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).

    又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,

    ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,

    故f(-2)的取值范围是[5,10].

     

     

     

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