高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质教课课件ppt

课后素养落实(十四)　不等式的证明

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．要证－＜－成立，只需证明(　　)

A．(－)2＜(－)2

B．(－)2＜(－)2

C．(＋)2＜(＋)2

D．(－－)2＜(－)2

C　[根据分析法的证明过程可知，要证－＜－，只需证明(＋)2＜(＋)2.]

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)

A．a－b＞0

B．a－c＞0

C．(a－b)(a－c)＞0

D．(a－b)(a－c)＜0

C　[由a＞b＞0，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a＞0，c＜0.

要证＜a，只要证(－a－c)2－ac＜3a2，即证

a2－ac＋a2－c2＞0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)＞0

即证a(a－c)－b(a－c)＞0，

也就是证(a－c)(a－b)＞0.

故求证＜a索的因应是(a－c)(a－b)＞0.]

3．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除

B　[由于反证法是命题的结论的否定的一个运用，故对“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．]

4．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

②若a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．

以下结论正确的是(　　)

A．①与②的假设都错误

B．①的假设正确；②的假设错误

C．①与②的假设都正确

D．①的假设错误；②的假设正确

D　[对于①，结论的否定是p＋q＞2，故①的假设错误；对于②，其假设正确，故选D．]

5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P＞Q　　　　　 B．P＝Q

C．P＜Q D．由a的取值确定

C　[要证P＜Q，只需证P2＜Q2.

只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2，

只要证a2＋7a＜a2＋7a＋12，

只要证0＜12.

又∵0＜12成立．

∴P＜Q成立，故选C．]

二、填空题

6．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤．

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.

其正确顺序为________．

③①②　[用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②.]

7．用反证法证明“a，b，c三个数中至少有一个不小于”时，假设内容是________．

a，b，c都小于　[“a，b，c中至少有一个不小于”的反面是“a，b，c都小于”．]

8．要使－＜成立，a，b应满足的条件是______或者________．

ab＞0且a＞b　ab＜0且a＜b　[－＜⇔a－b＋3－3＜a－b⇔(－)＞0⇔ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.]

三、解答题

9．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

[证明]　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.

∵a≥b＞0，

∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，

∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.

10．已知x＞0，求用反证法证明：＜1＋.

[证明]　假设≥1＋，

∵x＞0，∴＞0,1＋＞0，

∴1＋x≥1＋x＋，即0≥，

∴x＝0，与条件x＞0矛盾．

∴假设不成立，故＜1＋成立．

1．(多选题)设a，b为正实数，有下列命题中正确的命题为(　　)

A．若a2－b2＝1，则a－b<1

B．若－＝1，则a－b<1

C．若|－|＝1，则|a－b|<1

D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1

AD　[对于A，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．

对于B，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1．

对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1．

对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，

∴a≠b，不妨设a>b>0.

∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，

∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.

即a3－b3>(a－b)3>0，

∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，

∴0<a－b<1，

即|a－b|<1．因此D正确．]

2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[必要性显然成立，PQR＞0包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况，假设P＜0，Q＜0，则P＋Q＝2b＜0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾．故P，Q，R同时大于0，所以选C．]

3．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．

a≥0，b≥0且a≠b　[a＋b－(a＋b)

＝(a－b)(－)

＝(－)(＋)(－)

＝(－)2(＋)＞0，

所以a≥0，b≥0且a≠b.]

4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)

③　[假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1，则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.]

(1)用分析法证明：

已知n∈N*，求证－＞－；

(2)已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根．

[解]　(1)证明：要证－＞－，

只需证＋＞＋，

只需证(＋)2＞(＋)2，

即证2n＋3＋2＞2n＋3＋2，

即证＞，

即证n2＋3n＋2＞n2＋3n，

即证2＞0，显然成立，所以原不等式成立．

(2)证明：假设三个方程都没有两个相异实根．

则Δ1＝4b2－4ac≤0，

Δ2＝4c2－4ab≤0，

Δ3＝4a2－4bc≤0，

上述三个式子相加得，

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，

即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.

所以a＝b＝c这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾．

因此假设不成立，故三个方程ax2＋2bx＋c＝0，

bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异实根.