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    高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质教课课件ppt

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    课后素养落实(十四) 不等式的证明

    (建议用时:40分钟)

    一、选择题

    1.要证成立,只需证明(  )

    A()2()2

    B()2()2

    C()2()2

    D()2()2

    C [根据分析法的证明过程可知,要证,只需证明()2()2.]

    2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:abc,且abc0,求证a索的因应是(  )

    Aab0

    Bac0

    C(ab)(ac)0

    D(ab)(ac)0

    C [ab0,且abc0可得b=-aca0c0.

    要证a,只要证(ac)2ac3a2,即证

    a2aca2c20,即证a(ac)(ac)(ac)0

    即证a(ac)b(ac)0

    也就是证(ac)(ab)0.

    故求证a索的因应是(ac)(ab)0.]

    3.用反证法证明命题:abNab可被5整除,那么ab中至少有一个能被5整除时,假设的内容应为(  )

    Aab都能被5整除

    Bab都不能被5整除

    Cab不都能被5整除

    Da不能被5整除

    B [由于反证法是命题的结论的否定的一个运用,故对ab中至少有一个能被5整除的否定是ab都不能被5整除”.]

    4已知p3q32,证明:pq2.用反证法证明时,可假设pq2

    abR|a||b|1,求证:方程x2axb0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|1

    以下结论正确的是(  )

    A的假设都错误

    B的假设正确;的假设错误

    C的假设都正确

    D的假设错误;的假设正确

    D [对于,结论的否定是pq2,故的假设错误;对于,其假设正确,故选D]

    5.若PQ(a0),则PQ的大小关系是(  )

    APQ      BPQ

    CPQ D.由a的取值确定

    C [要证PQ,只需证P2Q2.

    只要证2a722a72

    只要证a27aa27a12

    只要证012.

    012成立.

    PQ成立,故选C]

    二、填空题

    6用反证法证明命题一个三角形中不能有两个直角的过程可以归纳为以下三个步骤.

    ①∠ABC90°90°C180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,所以AB90°不成立;

    所以一个三角形中不能有两个直角;

    假设ABC中有两个角是直角,不妨设AB90°.

    其正确顺序为________

    ③①② [用反证法证明命题的步骤是:先假设命题不成立,然后通过推理得出矛盾,最后否定假设,从而得到正确的命题.故填③①②.]

    7.用反证法证明abc三个数中至少有一个不小于时,假设内容是________

    abc都小于 [abc中至少有一个不小于的反面是abc都小于”.]

    8.要使成立,ab应满足的条件是______或者________

    ab0ab ab0ab [ab33ab()0ab0abab0ab.]

    三、解答题

    9.已知ab0,求证:2a3b32ab2a2b.

    [证明] 要证明2a3b32ab2a2b成立,

    只需证2a3b32ab2a2b0

    2a(a2b2)b(a2b2)0

    (ab)(ab)(2ab)0.

    ab0

    ab0ab0,2ab0

    (ab)(ab)(2ab)0成立,

    2a3b32ab2a2b.

    10已知x0,求用反证法证明:1.

    [证明] 假设1

    x00,10

    1x1x,即0

    x0,与条件x0矛盾.

    假设不成立,故1成立.

    1(多选题)ab为正实数,有下列命题中正确的命题为(  )

    A.若a2b21,则ab<1

    B.若1,则ab<1

    C.若||1,则|ab|<1

    D.若|a3b3|1,则|ab|<1

    AD [对于A,由题意ab为正实数,则a2b21abab>0a>b>0,故ab>ab>0.ab1,则1ab1ab,这与ab>ab>0矛盾,故ab<1成立.

    对于B,取特殊值,a3b,则ab>1

    对于C,取特殊值,a9b4时,|ab|>1

    对于D|a3b3|1a>0b>0

    ab,不妨设a>b>0.

    a2abb2>a22abb2>0

    (ab)(a2abb2)>(ab)(ab)2.

    a3b3>(ab)3>0

    1|a3b3|>(ab)3>0

    0<ab<1

    |ab|<1.因此D正确.]

    2.设abc均为正实数,PabcQbcaRcab,则PQR0PQR同时大于0(  )

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充要条件

    D.既不充分也不必要条件

    C [必要性显然成立,PQR0包括PQR同时大于0,或其中两个为负两种情况,假设P0Q0,则PQ2b0,这与b为正实数矛盾.同理当PR同时小于0QR同时小于0的情况亦得出矛盾.故PQR同时大于0,所以选C]

    3.如果abab,则实数ab应满足的条件是________

    a0b0ab [ab(ab)

    (ab)()

    ()()()

    ()2()0

    所以a0b0ab.]

    4.设ab是两个实数,给出下列条件:ab1ab2ab2a2b22.其中能推出ab中至少有一个大于1的条件是________(填序号)

     [假设ab均不大于1,即a1b1,则①②④均有可能成立,故①②④不能推出ab中至少有一个大于1,故选.]

    (1)用分析法证明:

    已知nN*,求证

    (2)已知abc是互不相等的非零实数,用反证法证明三个方程ax22bxc0bx22cxa0cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根.

    [] (1)证明:要证

    只需证

    只需证()2()2

    即证2n322n32

    即证

    即证n23n2n23n

    即证20,显然成立,所以原不等式成立.

    (2)证明:假设三个方程都没有两个相异实根.

    Δ14b24ac0

    Δ24c24ab0

    Δ34a24bc0

    上述三个式子相加得,

    a22abb2b22bcc2c22aca20

    (ab)2(bc)2(ca)20.

    所以abc这与abc是互不相等的非零实数相矛盾.

    因此假设不成立,故三个方程ax22bxc0

    bx22cxa0cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根.

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