数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时教案

这是一份数学必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时教案，共6页。

1．通过对初中三条基本性质的回忆，以及上节学习的知识，证明不等式的基本性质和推论．
2．在了解不等式的基本性质的基础上，利用它们来证明一些简单的不等式．
3．通过本节的学习，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度．体会数学的结构美和系统美，激发学生学习数学更大的热情．
重点难点
教学重点：理解并证明不等式的基本性质与推论，并能用基本性质证明一些简单的不等式．
教学难点：不等式基本性质的灵活应用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的三条基本性质，即不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．
思路2.(类比导入)等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．
推进新课
新知探究
活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆上节课学过的实数的基本性质(或用多媒体展示)，即a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b＝0a＝b.
根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．
从实数的基本性质，我们可以证明下列常用的不等式性质：
性质1，如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞bb＜a.这种性质称为不等式的对称性．
性质2，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞ca＞c.这种性质称为不等式的传递性．
性质3，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，
即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
由此得到推论1，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．这个推论称为不等式的移项法则．
推论2，如果a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式，同向不等式可以相加，这个推论可以推广为更一般的结论．
性质4，如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.
推论1，如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
推论2，如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)．
推论3，如果a＞b＞0，那么eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N＋，n＞1)．
以上这些不等式的性质是解决不等式问题的基本依据．其中性质1是不等式的对称性；性质2是不等式的传递性；性质3表明不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向，由此可得不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边；性质4表明，不等式两边允许用非零数(或式)去乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号，这点与等式的性质不同；性质4的推论1说明两边都是正数的同向不等式可以相乘；性质4的推论2说明两边都是正数的不等式可以乘方；性质4的推论3说明两边都是正数的不等式可以开方．
对以上性质的逻辑证明，教师可与学生一起完成.5个推论可由学生自己完成，教师给予适当点拨．这是训练学生逻辑推理能力的极佳机会，不可错过．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)4条性质，5个推论．
例题精析
例1.应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证：；
（2）已知a>b， cb－d；
（3）已知a>b>0，0证明：（1）因为ab>0，所以,
又因为a>b，所以 ,
即，因此 .
（2）因为a>b，cb，－c>－d，
根据性质3的推论2，得a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.
（3）因为0又因为a>b>0，所以
即
活动：本节教材上共安排了这一个例题，含3个小题，都是不等式性质的简单应用，教师不可忽视本例的训练，过高估计了学生逻辑推理的书写能力．实践证明，学生往往推理不严密．教学时应指导学生根据不等式的性质的条件和结论，强调推理要有理有据，严谨细致，条理清晰．
点评：应用不等式性质对已知不等式进行变形，从而得出要证的不等式，是证明不等式的常用方法之一.
变式训练1.已知a＞b＞0，c＜0，求证：eq \f(c,a)＞eq \f(c,b).
证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，eq \f(1,ab)＞0.
于是a·eq \f(1,ab)＞b·eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)＞eq \f(1,a).
由c＜0，得eq \f(c,a)＞eq \f(c,b).
例2.已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的取值范围．
活动：教师引导学生回忆本题的背景，这类问题是学习三角函数内容时经常遇到的，由于当时所学知识所限，往往容易出错．这里我们在已知的基础上，运用不等式的基本性质得出所要得到的结果．
解：∵－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)＜eq \f(π,4)，－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4).
上面两式相加，得－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2).
∵－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4)，∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)＜eq \f(π,4).
∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2).
又知α＜β，∴eq \f(α－β,2)＜0.
故－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0.
点评：在三角函数化简求值中，角的范围的确定往往成为正确解题的关键.
变式训练2.已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
【答案】B
【解析】由题意知f(x)是奇函数，且在R上为单调增函数，
所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x3)＝－f(x3)，f(－x1)＝－f(x1)，
且x1＜－x2，x2＜－x3，x3＜－x1.
所以f(x1)＜－f(x2)，f(x2)＜－f(x3)，f(x3)＜－f(x1)．
由不等式的性质3推论2知
f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜－f(x1)－f(x2)－f(x3)．
因此，f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.
例3.已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
活动：教师引导学生观察结论，由于e＜0，因此即证eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，引导学生作差，
利用本节所学的不等式基本性质．
证明：c＜d＜0eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－c>－d>0,a>b>0))a－c＞b－d＞0 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－c)<\f(1,b－d),e<0)) eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
点评：本例是灵活运用不等式的性质．证明时一定要推理有据，思路条理清晰.
变式训练3.若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b中，正确的不等式有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】由eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0得b＜a＜0，ab＞0，则①正确，②错误，③错误.
知能训练
1．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．a2＞b2
C．eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c|
【答案】C
【解析】解法一：∵a＞b，c2＋1＞0，∴eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1).
解法二：令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A、B、C、D中，可知A、B、D均错．
2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A．eq \f(b,a)＞eq \f(b＋1,a＋1) B．a＋eq \f(1,a)＞b＋eq \f(1,b)
C．a＋eq \f(1,b)＞b＋eq \f(1,a) D．eq \f(2a＋b,a＋2b)＞eq \f(a,b)
【答案】C
【解析】解法一：由a＞b＞0 0＜eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)a＋eq \f(1,b)＞b＋eq \f(1,a).
解法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，排除B.
3．有以下四个条件：
①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.
其中能使eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)成立的有__________个条件．
【答案】①②④
【解析】①∵b＞0，∴eq \f(1,b)＞0.∵a＜0，∴eq \f(1,a)＜0.∴eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
②∵b＜a＜0，∴eq \f(1,b)＞eq \f(1,a).
③∵a＞0＞b，∴eq \f(1,a)＞0，eq \f(1,b)＜0.∴eq \f(1,a)＞eq \f(1,b).
④∵a＞b＞0，∴eq \f(1,a)＜eq \f(1,b).
4．已知a＜b，c＞d，求证：c－a＞d－b.
证明：∵a＜b，∴－a＞－b.
又∵c＞d，∴c＋(－a)＞d＋(－b)，即c－a＞d－b.
5．已知x＞y＞z＞0，求证：eq \f(y,x－y)＞eq \f(z,x－z).
证明：∵x＞y，∴x－y＞0.∴eq \f(1,x－y)＞0.
又y＞z＞0，∴eq \f(y,x－y)＞eq \f(z,x－y).①
∵y＞z，∴－y＜－z.∴x－y＜x－z.
∴0＜x－y＜x－z.∴eq \f(1,x－y)＞eq \f(1,x－z).
又z＞0，∴eq \f(z,x－y)＞eq \f(z,x－z).②
由①②得eq \f(y,x－y)＞eq \f(z,x－z).
课堂小结
1．教师与学生共同完成本节的小结．从实数的基本性质与三条基本性质的回顾，到所有性质的推得，推论的证明，以及例题的探究、变式训练等．真正温故知新，将本节课所学内容纳入已有的知识体系．
2．教师进一步强调代数逻辑推理的方法要领，指出利用不等式的性质时容易忽略的地方，以及证明不等式时需要注意的问题．