人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课前预习课件ppt

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课前预习课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了必备知识生成，λx1λy1，bλa，λxλy，关键能力探究，思维导引，核心知识，核心素养，方法总结，易错提醒等内容，欢迎下载使用。

【情境探究】1.平面向量的数乘运算(1)设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量λa(λ∈R)如何用基底i,j表示?提示:λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j.(2)向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似?提示:类似.先算数乘,再算加减,有括号的先算括号里的.
2.向量共线的坐标表示已知下列几组向量:①a=(0,3),b=(0,6).②a=(2,3),b=(4,6).③a=(-1,4),b=(3,-12).④
回答下列问题:(1)上面几组向量中,a,b有什么关系?提示:①②中b=2a,③中b=-3a,④中b=-a.(2)以上几组向量中,a,b共线吗?a,b的坐标满足什么条件?提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢?提示:由于a=λb,故(x1,y1)=λ(x2,y2),即 当x2,y2≠0时,λ= 即x1y2-x2y1=0.
【知识生成】1.平面向量的数乘运算的坐标表示:
2.向量共线的坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当__________时,向量a,b(b≠0)共线.有关结论:(1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______.(2)若A,B,C三点共线,则向量 _____,即存在唯一实数λ,使________.(3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=__________.(4)若a=b,则a与b的坐标_____.
x1y2-x2y1=0
探究点一　向量共线的判定及解决点共线问题【典例1】(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.-13B.9C.-9D.13(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 平行吗?直线AB平行于直线CD吗?
【解析】(1)选C.设C(6,y),因为 又 =(-8,8), =(3,y+6),所以-8×(y+6)-3×8=0,所以y=-9.(2)因为 =(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-1,7-5)=(1,2).又2×2-4×1=0,所以 又 =(2,6), =(2,4),所以2×4-2×6≠0,所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,所以AB∥CD.
【类题通法】向量共线的判定方法 提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
【定向训练】1.下列向量中,与向量a=(-5,4)平行的是(　　)A.(-5k,4k)B. C.(-10,2)D.(5k,4k)【解析】选A.因为ka与a共线,故本题可通过观察直接选A项.
2.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=________. 【解析】因为 =(1,a2+a), =(2,a3+a),又A,B,C三点共线,所以 所以1×(a3+a)-2(a2+a)=0,即a2-2a-1=0.又a>0,所以a=1+ .答案:1+
3.已知A(1,-3), C(9,1).求证:A,B,C三点共线.【证明】 =(9-1,1+3)=(8,4),因为7×4- ×8=0,所以 且 有公共点A,所以A,B,C三点共线.
【补偿训练】　　　已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且 求证:
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意知 =(2,2), =(-2,3), =(4,-1),因为 所以(x1+1,y1)= (2,2).所以点E的坐标为 同理,F的坐标为 所以 又 所以
探究点二　根据向量共线求参数【典例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【思维导引】方法一:可利用b与非零向量a共线等价于b=λa(λ>0,b与a同向;λ<0,b与a反向)求解;方法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=λa判定同向还是反向.
【解析】方法一:(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以 解得k=λ=- .当k=- 时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=- a+b=- (a-3b),因为λ=- <0,所以ka+b与a-3b反向.
方法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=- .这时ka+b= 所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
【类题通法】利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
【定向训练】1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是(　　)A.2　　　　B.1　　　　C.3　　　　D.4【解析】选A.因为a=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),因为a+b与3a-b平行,所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.
2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为(　　) 【解析】选B.因为a=(2,-1),b=(1,1),所以a+kb=(2+k,-1+k),又c=(-5,1),由(a+kb)∥c得(2+k)×1=-5×(k-1),解得k= .
3.已知a=(1,1),b=(x2,x+λ)且a∥b,则实数λ的最小值是________. 【解析】因为a∥b,所以x2-x-λ=0,即λ=x2-x= 所以λ的最小值为- .答案:-
探究点三　向量共线的综合应用【典例3】已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且 求点P的坐标.【思维导引】点P在直线AB上,包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上,因此应分类讨论.
【解析】设P点坐标为(x,y), 当P在线段AB上时, 所以(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),所以 解得 所以P点坐标为
当P在线段AB延长线上时, 所以(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),所以 解得 所以P点坐标为(-5,8).综上所述,点P的坐标为 或(-5,8).
【延伸探究】1.若将本例条件“| |=2| |”改为“ =3 ”,其他条件不变,求点P的坐标.【解析】因为 =3 ,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),所以 解得 所以点P的坐标为
2.若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴,y轴于点A,B,且| |=3| |”,求点A,B的坐标.【解析】由题设知,A,B,P三点共线,且| |=3| |,设A(x,0),B(0,y),①点P在A,B之间,则有 所以(-x,y)=3(-2-x,3),解得x=-3,y=9,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9).
②点P不在A,B之间,则有 同理,可求得点A,B的坐标分别为 (0,-9).综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或 (0,-9).
【类题通法】　由向量共线求交点坐标的方法
【补偿训练】如图,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.
【解析】设 =λ(11-1,6-2)=(10λ,4λ).易得 =(-11,1),所以 =(10λ-11,4λ+1).又 =(-8,4),而 共线,所以4×(10λ-11)+8×(4λ+1)=0,解得λ=设点P的坐标为(xP,yP),所以 =(5,2)=(xP-1,yP-2),所以 即 故点P的坐标为(6,4).
【定向训练】1.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN的靠近点M的三等分点,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x,y),如图,所以 所以(-6,-14)=3(x-7,y-8),所以 解得 故P点坐标为 答案:
2.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
【解析】因为 因为 所以 设M(x,y),则 =(x,y-5), 因为 所以- x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又 因为 所以 即7x-16y=-20.②联立①②解得x= ,y=2,故点M的坐标为
1. 向量数乘运算的坐标表示.2.共线向量的坐标表示.3.中点坐标公式.
平面向量数乘运算的坐标表示
向量平行问题（1）利用共线向量定理a＝λb(b≠0).（2）利用坐标表达式x1y2－x2y1＝0.
1.数学抽象：向量数乘运算的坐标表示.2.逻辑推理：推导共线向量的坐标表示.3.数学运算：用坐标进行向量的相关运算，由向量共线求参数的值.
向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0可简记为：纵横交错积相减.
1.若向量a=( ,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是(　　)A.( ,-1)B.(-1,- )C.(- ,-1)D.(-1, )【解析】选D.因为a+2b=( ,-3)=- (-1, ),所以向量a+2b与(-1, )是共线向量.
2.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b=(　　)A.(4,0)　　　B.(0,4)C.(4,-8)　　　D.(-4,8)【解析】选C.因为向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,所以1×4=(-2)×m,所以m=-2,所以2a-b=(2-m,-4-4)=(4,-8).
3.若三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,则下列式子一定正确的是(　　)A.2m-n=3　B.n-m=1C.m=3,n=5　D.m-2n=3【解析】选A.因为三点A(4,3),B(5,m),C(6,n)在一条直线上,所以 =λ ,所以(1,m-3)=λ(2,n-3),所以λ= ,所以m-3= (n-3),即2m-n=3.
4.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于________. 【解析】因为a∥b,所以1×m-(-2)×2=0,所以m=-4,所以a=(1,2),b=(-2,-4),所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).答案:(-4,-8)