数学八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀精练

                   三角形的证明考点整合

考点1：反证法、互逆命题、互逆定理

反证法

1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(　D　)

A．有一个锐角小于45°　B．每一个锐角都小于45°

C．有一个锐角大于45°  D．每一个锐角都大于45°

2.对于命题“如果∠1+∠2=180°,那么∠1≠∠2”能说明它是假命题的例子(反例)　C　)

A.∠1=100°,∠2=80°

B.∠1=50°,∠2=50°

C.∠1=∠2=90°

D.∠1=80°,∠2=80°

3.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60° ”,应当先假设这个三角形中(　B　)

A.有一个内角小于60°

B.每一个内角都小于60°

C.有一个内角大于60°

D.每一个内角都大于60°

4.(教材P9例3改编)用反证法证明一个三角形中不能有两个角是钝角.

证明：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A＋∠B＋∠C>90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，故∠A>90°，∠B>90°不成立；

所以一个三角形中不能有两个钝角．用反证法证明：等腰三角形的底角必为锐角．

证明：假设∠B，∠C不是锐角，即∠B＝∠C≥90°.则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设不成立．故∠B、∠C必为锐角，即等腰三角形的底角必为锐角．

5.用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．

证明：如图所示：已知l1∥l3，l2∥l3，假设l1不平行于l2，l1∥l3则l2不平行于l3与条件l2∥l3矛盾，所以l1∥l2.

6．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．

证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．

反证法的解题步骤(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论反面的所有可能情况,如果结论的反面只有一种情况,那么否定一种就可以了,如果结论的反面有多种情况,那么必须一一否定.

互逆命题

7.写出下列命题的逆命题,并判断真假.

(1)对顶角相等;

(2)如果a=b,那么ac=bc;

(3)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角;

(4)如果一个三角形的两个内角相等,那么这两个内角所对的边相等.

【解析】　(1)逆命题:如果两个角相等,那么它们是对顶角.这是假命题.

(2)逆命题:如果ac=bc,那么a=b.这是假命题.

(3)逆命题:如果一个三角形的两个角都是锐角,那么它的第三个角是钝角.这是假命题.

(4)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的角相等.这是真命题.

8．下列命题中，其逆命题为假命题的是(　B 　)

A．等腰三角形的两个底角相等

B．若a＝b，则a2＝b2

C．若ab＝1，则a与b互为倒数

D．三条边对应相等的两个三角形全等

9.下列数可以用来说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的是 (　D　)

A.3  B.4  C.8  D.6

10.下列命题中,其逆命题成立的是__①___.(填序号) 

①同旁内角互补,两直线平行;

②如果两个角是直角,那么它们相等;

③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;

④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

【解析】　①逆命题是“两直线平行,同旁内角互补”,成立;②逆命题是“如果两个角相等,那么它们是直角”,不成立;③逆命题是“如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等”,不成立;④逆命题是“如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2”,因为无法确定c为斜边长,所以不成立.

11．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．

  (1)③和⑤是互逆命题吗？

(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？

(3)请指出哪几个命题是互逆命题．

(1)解：由于③的题设是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．

(2)：③的逆命题是如果a>0，b>0，那么a＋b>0.⑤的逆命题是如果ab>0，那么a>0，b>0.

(3)①与④、②与⑥分别是互逆命题．

互逆定理

12．下列三个定理中，存在逆定理的有(　C　)个．

①有两个角相等的三角形是等腰三角形；

②全等三角形的周长相等；

③同位角相等，两直线平行．

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

13．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)等角的补角相等．

(1)解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是．

(2）逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角，原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理．

考点2：等腰三角形的性质和判定

14．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数为(　C 　)

A．50°  B．55°  C．65°  D．75°

15．等腰三角形的一条边长为6，另一边长为12，则它的周长为(　C 　)

A．24       B．24或30      C．30      D．18

16.[2020山东临沂中考]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=(　D　)

A.40°     B.50°    C.60°       D.70°

【解析】　∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=70°,又∵CD∥AB,∴∠BCD=∠ABC=70°.故选D.

17.[2020青海中考]等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是 (　D　)

A.55°,55°   B.70°,40°或70°,55°

C.70°,40°    D.55°,55°或70°,40°

【解析】　分两种情况:①若等腰三角形的顶角为70°,则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°;②若等腰三角形的底角为70°,则顶角的度数为180°-70°-70°=40°.故选D

18.[2020广东汕头潮阳区期末]如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,则下列结论不正确的是 (　A　)

A.AB=2BD B.AD⊥BC         C.AD平分∠BAC    D.∠B=∠C

【解析】　∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠B=∠C,AD⊥BC,AD平分∠BAC,故B,C,D项结论正确.故选A.

19.作为“一座21世纪的美术馆”的山西大同美术馆,屋顶由四块相互连接的金字塔形结构组成,从正面看都是等腰三角形,其中一个金字塔形结构(示意图如图所示)的高AD=30 m,跨度BC=80 m,则此金字塔形结构的边AB的长为__50______m. 

　【解析】　在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=BC=40 m.在Rt△ABD中,AB==50 m.

20.[2019江苏无锡月考]如图,△ABC的周长为32,且AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线.若△ACD的周长为24,则AD的长为___8____. 

【解析】　∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=DC.∵AB+AC+BC=32,即AB+BD+DC+AC=32,∴AC+DC=16,又∵AC+DC+AD=24,∴AD=8.

21.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F.

(1)求证:∠CBE=∠BAD.

(2)若CE=FE,求证:AF=2BD.

.【解析】　(1)∵AB=AC,AD是BC边上的中线,

∴AD⊥BC,∠CAD=∠BAD,

∴∠C+∠CAD=90°.

∵BE⊥AC,∴∠C+∠CBE=90°,

∴∠CBE=∠CAD,

∴∠CBE=∠BAD.

(2)由(1)可知,∠CBE=∠FAE,∠BEC=∠AEF=90°,

又∵CE=FE,∴△BCE≌△AFE,∴AF=BC.

∵AD为BC边上的中线,∴BC=2BD,

∴AF=2BD.

22．【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O.

       (1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)判断△BOC的形状，并说明理由．

(1)证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

(2)解：△BOC是等腰三角形，

理由如下：

∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE.

∴∠OBC＝∠OCB.∴BO＝CO.∴△BOC是等腰三角形．

23.[2020河南期末]如图,点O是△ABC的边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.

(1)求证:OE=OF.

(2)若CE=8,CF=6,求OE的长.

【解析】　(1)如图,∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F,

∴∠2=∠5,∠4=∠6.

∵MN∥BC,∴∠1=∠5,∠3=∠6,

∴∠1=∠2,∠3=∠4,

∴OE=OC,OF=OC,

∴OE=OF.

(2)如图,∵∠2=∠5,∠4=∠6,

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°.

∵CE=8,CF=6,

∴EF==10,

由(1)得EF=2OE,∴OE=EF=5.

24.[2020浙江金华模拟]如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.

(1)当∠BDA=115°时,∠BAD=__25_____°;点D从点B向点C运动的过程中,∠BDA逐渐变__小____(填“大”或“小”). 

(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?请说明理由.

(3)当∠BDA为多少度时,△ADE是等腰三角形?

【解析】　(1)25　小

当∠BDA=115°时,∠BAD=180°-∠B-∠BDA=25°;由题图可知,在点D从点B向点C运动的过程中,∠BDA逐渐变小.

(2)当DC=AB=2时,△ABD≌△DCE.理由如下:

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B=40°,

∴∠BAD=∠CDE,

又∵AB=DC,∴△ABD≌△DCE.

(3)∵AB=AC,∠B=40°,∴∠C=∠B=40°.

当△ADE为等腰三角形时,

①若AD=DE,则∠DAE=∠DEA=×(180°-∠ADE)=70°,

∴∠BDA=∠DAE+∠C=110°;

②若AE=DE,则∠DAE=∠ADE=40°,

∴∠BDA=∠DAE+∠C=80°;

③若AD=AE,则∠AED=∠ADE=40°,

此时∠AED=∠C,点D与点B重合,不符合题意.

综上所述,当∠BDA为110°或80°时,△ADE为等腰三角形.

考点3：等边三角形的性质和判定

25.如图,△ABC是等边三角形,BC=BD,∠BAD=20°,则∠BCD的度数为 (　A　)

A.50°  B.70°  C.80° D.40°  B.55°                            C.60°                            D.65°

【解析】　∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=BC.∵BC=BD,∴AB=BD,∴∠BAD=∠BDA=20°, ∴∠ABD=180°-20°-20°=140°,∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=80°,∴∠BCD=∠BDC=×(180°-80°)=50°.故选A.

26.如图,△ABC是等边三角形,则∠1+∠2的度数为 (　C　)

A.60°     B.90° C.120°  D.150°

【解析】　∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠1+∠2=180°-∠BAC=120°.故选C.

27.[2019甘肃兰州模拟]如图,若等边三角形ABC的周长为18,则BC边上的高AD的长为 (　B　)

A.3    B.3     C.6  D.6

28.[2020江苏扬州邗江区二模]如图,直线l1∥l2,等边三角形ABC的顶点C在直线l2上,若∠1=40°,则∠2的度数为 (　A　)

A.100°  B.110°  C.120°  D.140°

【解析】　如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,∵∠1=40°, ∴∠3=∠1= 40°, ∴∠4=60°+40°=100°,∵l1∥l2,∴∠2=∠4=100°.故选A.

29.[2020河南商丘一模]三个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=__130°_. 

【解析】　如图,∵三个三角形均为等边三角形,∠3=50°,∴∠ABC=180°-60°-50°= 70°.∵∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1,∠ABC+∠ACB+ ∠BAC= 180°,∴70°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°,∴∠1+∠2=130°.

30.[2019陕西宝鸡一中月考]如图,△ABC与△DEF为等边三角形,其边长分别为a,b,则△AEF的周长为_a+b.____. 

【解析】　∵△ABC与△DEF为等边三角形,∴∠A=∠B=∠DFE=60°,EF=DF,∴∠BFD+∠BDF=120°, ∠BFD+ ∠AFE=120°,∴∠AFE=∠BDF,∴△AEF≌△BFD(AAS),∴AE=BF,∴△AEF的周长为AF+AE+EF=AF+ BF+EF=a+b.

31.[2019辽宁营口模拟]等边三角形ABC的顶点A,B分别在如图所示的网格图的格点上,网格中每个小正方形的边长均为1,则∠α的度数为_15°___. 

【解析】　如图,∠OBE=∠BOE=45°,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC= 60°, ∴∠EBC=60°-45°=15°,∴∠α=∠EBC=15°.

32．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD.

【点拨】利用等边三角形的性质证明线

段间的和差关系问题时，往往要结合具体问题选择三角形全等的判定方法，再运用全等三角形的性质进行线段之间关系的论证．

证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，

∴BE＝BD＝DE，AB＝CB，∠ABC＝∠EBD＝60°.

∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC.

即∠ABE＝∠CBD.

在△ABE与△CBD中，

∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.

又∵AD＝AE＋ED，ED＝BD，∴BD＋CD＝AD.

33.[2020辽宁沈阳和平区期末]如图,△ABC是等边三角形,△ACE是等腰三角形,∠AEC=120°,AE=CE,AF平分∠BAC.

(1)∠BAE的度数为___90°____; 

(2)判断AF与CE的位置关系,并说明理由.

【解析】　(1)90°

∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵EA=EC,∠AEC=120°,∴∠CAE=∠ACE=30°,∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°.

(2)AF∥CE.理由如下:

∵△ABC是等边三角形,AF平分∠BAC,

∴AF⊥BC,∠ACB=60°.

由(1)知∠ACE=30°,

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,

∴EC⊥BC,

∴AF∥CE.

34．如图，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD；求证：△ADE是等边三角形．

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC

∴∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，

∴∠1＝∠2＝60°，

在△ABD和△ACE

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，

35.如图,在等边三角形ABC中,AB=9 cm,点P从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动,点Q从点B出发沿BA边向点A以5 cm/s的速度运动.P,Q两点同时出发,它们运动的时间为t s.

(1)当点Q在AB上运动时,

①你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来;

②经过几秒,△PBQ为等边三角形?

(2)若P,Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒,点P与点Q第一次相遇在△ABC的哪条边上?

【解析】　(1)①∵△ABC为等边三角形,∴BC=AB=9 cm.

∵点P的运动速度为2 cm/s,运动时间为t s,∴BP=BC-CP=(9-2t)cm.

∵点Q的运动速度为5 cm/s,运动时间为t s,

∴BQ=5t cm.

②若△PBQ为等边三角形,则BP=BQ,

即9-2t=5t,解得t=,

∴经过 s,△PBQ为等边三角形.

(2)设经过t0 s,点P与点Q第一次相遇.

根据题意得,5t0-2t0=18,解得t0=6,

即经过6 s,点P与点Q第一次相遇.

此时,点P运动的路程为2×6=12(cm),

而9<12<18,∴此时点P在AB边上,

∴经过6 s,点P与点Q第一次相遇在AB边上.

考点4：直角三角形的性质和判定(全等）

36.[2020湖南长沙雨花区期末]在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,则另一个锐角的度数是 (　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.75°B.65°C.55°D.85°  D.45°

【解析】　∵在一个直角三角形中,有一个锐角等于35°,∴另一个锐角的度数是90°-35°=55°.故选C.

37.[2020河北石家庄二中期中]如图,在△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠ADE=155°,则∠B的度数为 (　C　)

A.55°   B.45°  C.65°  D.75°  B.60°                                          D.75°

【解析】　∵∠ADE=155°,∠ADE+∠CDE=180°,∴∠CDE=25°.∵DE∥BC,∴∠C=∠CDE=25°.在△ABC中, ∠A=90°,∴∠B=90°-25°=65°.故选C.

38.[2019广西贵港港南区期中]具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(　D　)

A.∠A+∠B=∠C

B.∠A-∠B=∠C

C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3

D.∠A=∠B=3∠C

【解析】　A项,∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC为直角三角形;B项,同理可得∠A=90°, ∴△ABC为直角三角形;C项,由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,可得∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,∴△ABC是直角三角形;D项,∠A=∠B=3∠C,即7∠C=180°,三个角中没有90°角,故△ABC不是直角三角形.故选D.

40.[2019江苏盐城盐都区期中]如图,∠AOB=50°,点P是边OB上一个动点(不与点O重合),当∠A的度数为__90°或40°____时,△AOP为直角三角形. 

【解析】　①当∠A=90°时,△AOP为直角三角形;②当∠A=40°时,∠APO=90°,△AOP为直角三角形.故当∠A的度数为90°或40°时,△AOP为直角三角形.

41.[2020广东揭阳期中]如图,已知∠A=90°,AC=AB=8,CD=4,BD=12,则∠ACD=__45°___. 

【解析】　∵∠A=90°,AC=AB=8,∴∠ACB=45°,BC==8.∵CD=4,BD=12,∴CD2+BC2=16+128= 144= BD2,∴△BCD是直角三角形,且∠DCB=90°,∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=45°.

42.[2020江苏南京秦淮区期末]如图,在四边形ABCD中,AB=1,AD=,BD=2,∠ABC+∠ADC=180°,CD=.

(1)判断△ABD的形状,并说明理由;

(2)求BC的长.

【解析】　(1)△ABD是直角三角形.理由如下:

在△ABD中,AB2+AD2=12+()2=4,BD2=22=4,

∴AB2+AD2=BD2,

∴△ABD是直角三角形.

(2)由∠ABC+∠ADC=180°及三角形的内角和定理,

得∠A+∠C=180°,

由(1)得∠A=90°,∴∠C=90°,

在Rt△BCD中,∠C=90°,BC2=BD2-CD2=22-()2=2,

∴BC=.

43.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．

解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，

∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°

－70°＝20°.

44．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.

     (1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)若PA:PB:PC＝3:4:5，试判断△PQC的形状，并说明理由．

(1)解：AP＝CQ.

证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ.

∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC.

即∠ABP＝∠CBQ.又BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ.

∴AP＝CQ.

(2)：△PQC是直角三角形．

理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，

可设PA＝3a(a>0)，则PB＝4a，PC＝5a.

在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，

∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.

又由(1)知CQ＝PA.∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．

45.[2019天津武清区期中]如图1,点A,E,F,C在同一条直线上,AE=CF,DE⊥AC,BF⊥AC,AB=CD,连接BD,交AC于点G.

(1)求证:BD平分EF.

(2)若将△DEC的边ED沿射线AC方向移动变为图2所示,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.

【解析】　(1)∵DE⊥AC,BF⊥AC,

∴∠DEG=∠BFG=90°.

∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.

在Rt△ABF和Rt△CDE中,

∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴BF=DE.

在△BFG和△DEG中,

∴△BFG≌△DEG,∴FG=EG,

即BD平分EF.

(2)结论依然成立.理由如下:

由AE=CF,得AF=CE,

结合已知易得Rt△ABF≌Rt△CDE,∴BF=DE,

又∵∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE,

∴△BFG≌△DEG,∴FG=EG,

即结论依然成立.

考点5：垂直平分线的性质与判定

46．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(　 C　)

A．6  B．6  C．9  D．3

47.[2020湖南益阳中考]如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为 (　B　)

A.25°  B.30°    C.35°  D.40°

【解析】　∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠ACD=∠A=50°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠ACD=100°, ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°.故选B.

48.[2019广东广州番禺区期末]如图,AC=AD,BC=BD,则有 (　A　)

A.AB垂直平分CD

B.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分

D.CD平分∠ACB

线段垂直平分线的两种判定方法

(1)定义法,垂直并且平分线段的直线是线段的垂直平分线;(2)到一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,找到两个这样的点,就找到了线段的垂直平分线.

49.[2019山东东营垦利区一模]如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,大于BC为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为 (　D　)

A.90°        B.95° C.100°  D.105°

【解析】　∵CD=AC,∠A=50°,∴∠ADC=∠A=50°.由作图可知,MN垂直平分BC,∴BD=CD,∴∠BCD=∠B= ∠ADC=25°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°.故选D.

50.[2020四川南充一模]如图,在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,PQ垂直平分BC,与AC交于点P,下列结论正确的是 (　C　)

A.PC<2PA B.PC>2PA       C.AB<2PA         D.AB>2PA

【解析】　如图,连接BP,∵∠A=90°,∠C=30°,∴∠ABC=60°.∵PQ垂直平分BC,∴PB= PC,∴∠PBC=∠C=30°,∴∠ABP=30°,∴PA=PB=PC,∴PC=2PA,故A,B选项错误.∵∠A=90°, ∴AB<PB=2PA,故C选项正确,D选项错误.故选C.

51.【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

(1)证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.

∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.

∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.

∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，

∴点O在∠BAC的平分线上．

(2)解：∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.

设OE＝x.易得AF＝AM＝5－x，

BE＝BM＝12－x.

∵BM＋AM＝AB＝13，

∴12－x＋5－x＝13.

解得x＝2.∴OE＝2.

52.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点P,Q.连接AP,AQ.

(1)求∠PAQ的度数;

(2)如图2,在△ABC中,AB>AC,且90°<∠BAC<180°,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点P,Q.

①若∠BAC=130°,则∠PAQ=__80____°,若∠BAC=α,则∠PAQ用含有α的代数式表示为__2α-180°_; 

②当∠BAC=__135___°时,能使得PA⊥AQ; 

③若BC=10 cm,则△PAQ的周长为____10____cm. 

【解析】　(1)∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点P,Q,

∴AP=BP,AQ=CQ,∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C.

∵∠BAC=130°,AB=AC,∴∠B=∠C=25°,∴∠BAP+∠CAQ=50°,

∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=130°-50°=80°.

(2)①80　2α-180°

∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点P,Q,∴AP=BP,AQ=CQ,∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C.∵∠BAC=130°,∴∠B+ ∠C= 180°- ∠BAC=50°,∴∠BAP+ ∠CAQ= 50°, ∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=130°-50°=80°.

∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点P,Q,∴AP=BP,AQ=CQ,∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C.∵∠BAC=α,∴∠B+ ∠C= 180°- ∠BAC=180°-α,∴∠BAP+∠CAQ= 180°-α,∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=α-(180°-α)=2α-180°.

②135

由①知,当∠PAQ=90°,即2α-180°=90°时,PA⊥AQ,解得α=135°,∴当∠BAC=135°时,能使得PA⊥AQ.

③10

∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点P,Q,∴AP=BP,AQ=CQ.∵BC=10 cm,∴BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10 cm, ∴△PAQ的周长为10 cm.

考点6：角平分线的性质与判定

53．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是(　B 　)

A．6  B．8  C．10  D．12

54.[2019湖南张家界中考]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于(　C　)

A.4  B.3        C.2     D.1

【解析】　如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AC=8,DC=AD,∴CD=8×=2.∵∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE= CD=2,即点D到AB的距离为2.故选C.

55.[2020重庆九龙坡区期末]如图,在△ABC中,∠ABC=60°,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF=,则线段BE的长为 (　C　)

A.  B.2         C.3  D.2

【解析】　如图,连接BD,∵DE=DF,DE⊥AB,DF⊥BC,∴BD平分∠ABC,∴∠ABD= ∠ABC=×60°=30°.在Rt△BDE中,DB=2DE=2,由勾股定理得BE==3

55.[2020新疆乌鲁木齐期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,小于AC的长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP,交BC于点D.若△ABC的面积为9,则△ACD的面积为 (　A　)

A.3  B.  C.6  D.

【解析】　如图,过点D作DH⊥AB于点H,由题意知AD平分∠BAC,∴DC=DH, ∵∠C=90°,∠B=30°,∴AC=AB,∴S△CDA=S△ABD,∴S△CDA=S△ABC=×9=3.故选A

56.如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,AB=6,则△DEB的周长为 (　A　)

A.6        B.8         C.10       D.12

【解析】　∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=CD,∴AC=AE,又∵AC=CB,∴AE=CB,∴△DEB的周长= DE+ BD+BE=CD+BD+BE=CB+BE=AE+BE=AB=6.故选A.

57.[2020湖南长沙开福区模拟]如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于 (　A　)

A.110°  B.115°  C.125°  D.130°

【解析】　∵点O到三角形三边的距离相等,∴点O是△ABC三条角平分线的交点,∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC, ∠BCO=∠ACO=∠ACB,∵∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°,∴∠OBC+∠OCB=70°,∴∠BOC=180°-70°=110°.故选A.

58.[2020黑龙江哈尔滨南岗区期末]已知:在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.

(1)如图1,求∠BDC的度数;

(2)如图2,连接AD,作DE⊥AB于点E,若DE=2,AC=7,求△ADC的面积.

【解析】　(1)∵BD平分∠ABC,

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°.

∵CD平分∠ACB,

∴∠DCB=∠ACB=×40°=20°,

∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°.

(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F,DH⊥BC于点H,

∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DH⊥BC,

∴DH=DE=2.

∵CD平分∠ACB,DF⊥AC,DH⊥BC,

∴DF=DH=2,

∴△ADC的面积=DF·AC=×2×7=7.

59.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.

(1)请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由;

(2)如图2,如果∠ACB不是直角,其他条件不变,(1)中所得结论是否仍然成立?请说明理由.

【解析】　(1)FE=FD.理由如下:

过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,

则∠FME=∠FND=90°,

∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,∠ACB=90°,∠B=60°,

∴∠BAC=90°-∠B=30°,∠ACE=∠ACB=45°,

∴∠BAD=∠BAC=15°,

∴∠FEM=∠BAC+∠ACE=30°+45°=75°,∠FDN=∠B+∠BAD=60°+15°=75°,

∴∠FEM=∠FDN.

∵∠BAC,∠BCA的平分线AD,CE交于点F,

∴点F在∠ABC的平分线上,

又∵FM⊥AB,FN⊥BC,∴FM=FN,

∴△FEM≌△FDN,

∴FE=FD.

(2)成立.理由如下:

过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,

则FM=FN,∠FME=∠FND=90°,

∵∠FDN=∠B+∠BAD=60°+∠BAC,∠FEM=∠BAC+∠ACE=∠BAC+(180°-∠B-∠BAC)=∠BAC+(180°-60°-∠BAC)=60°+∠BAC,∴∠FEM=∠FDN,

∴△FEM≌△FDN,

∴FE=FD.

60.[2020河北邢台期末]如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线分别交BC延长线,AB于点E,F.连接DF,AE.

求证:(1)∠EAD=∠EDA;

(2)DF∥AC;

(3)∠EAC=∠B.

【解析】　(1)∵EF垂直平分AD,

∴AE=DE,∴∠EAD=∠EDA.

(2)∵EF垂直平分AD,

∴AF=DF,∴∠FAD=∠FDA.

∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠FAD=∠CAD,

∴∠FDA=∠CAD,

∴DF∥AC.

(3)∵∠EAC=∠EAD-∠CAD,∠B=∠EDA-∠BAD,

∠BAD=∠CAD,∠EAD=∠EDA,

∴∠EAC=∠B.

61.已知:OP平分∠AOB,∠DCE的顶点在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.

(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系:____CF=CG_____. 

(2)如图2,若∠AOB=120°,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并加以证明.

(3)若∠AOB=α,当∠DCE满足什么条件时,你在(2)中得到的结论仍然成立?请直接写出∠DCE满足的条件.

【解析】　(1)CF=CG

∵OC平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,

∴CF=CG.

(2)CF=CG.理由如下:

如图,过点C作CM⊥OA于点M,

作CN⊥OB于点N.

∵OC平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120°,

∴CM=CN,∠AOC=60°,∠MCN=360°-∠CMO-∠CNO-∠AOB=60°,

又∵∠DCE=∠AOC=60°,

∴∠MCN=∠DCE,∴∠MCF=∠NCG.

在△MCF和△NCG中,

∴△MCF≌△NCG,∴CF=CG.

(3)当∠DCE=180°-α时,(2)中的结论仍成立.

如图,∵OC平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,

∴CM=CN,∠CMO=∠CNO=90°.

∵∠AOB=α,∴∠MCN=360°-∠CMO-∠CNO-∠AOB=180°-α.

∵∠DCE=180°-α,∴∠MCN=∠DCE,

∴∠MCF=∠NCG.

在△MCF和△NCG中,

∴△MCF≌△NCG,

∴CF=CG.