初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀当堂达标检测题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试优秀当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每题3分，共30分)


1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )


A．40° B．50° C．60° D．70°


2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )


A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，17


3．下列命题的逆命题是真命题的是( )


A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等


C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|


4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )


A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD





5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)


6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )


A．2.5 B．1.5 C．2 D．1


7．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )


A．△ABC三条角平分线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处


C．△ABC三条高的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处


8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )


A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm





9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于( )


A．10 B．12 C．24 D．48


10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是( )


A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④


二、填空题(每题3分，共24分)


11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中____________________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．


12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．





13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．


14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．


15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．


16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．





17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．


18. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________．


三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)


19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.


(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；


(2)求△ABE的周长．








20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．











21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.























22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.


(1)求证：△ABC是等腰三角形；


(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．





23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.


(1)求证：△BED≌△CFD；


(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．


























24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.














25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.


(1)求点B的坐标．


(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．


(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．














答案


一、1.D 2.D


3．C 点拨：A项的逆命题：若a＋b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B项的逆命题：相等的角是直角，是假命题；C项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D项的逆命题：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题．故选C.


4．A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A


10．A 点拨：由题意得BD＝CD，DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴①正确；易知AE＝AF，BF＝CE，∴CA－AB＝AE＋CE－(BF－AF)＝AE＋AF＝2AE，∴②正确；∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，∠FBD＝∠ECD，∴∠BDC＋∠FAE＝180°－∠DBC－∠DCB＋(∠FBD＋∠DBC)＋(∠DCB－∠ECD)＝180°，∴③正确；由已知条件无法得到∠DAF＋∠CBD＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.


二、11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行


12．2 13.2


14．45° 点拨：如图，∵CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∴∠AEC＝90°，∠5＝∠6＝90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4.


在△ABD和△CHD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠5＝∠6，,∠1＝∠4，,AB＝CH，))


∴△ABD≌△CHD(AAS)．


∴AD＝CD.∴△ADC为等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°.





(第14题)


15．15


16．4 点拨：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC.因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值为4.





(第16题)


17．100°


18．32 点拨：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.


又∵∠A1B1A2＝60°，


∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等边三角形，


∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4.以此类推，A6B6＝32B1A2＝32.


三、19.解：(1)作图如图所示．





(第19题)


(2)∵DE垂直平分AC，


∴AE＝EC，


∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.


∵AB＝5，BC＝7，


∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，


即△ABE的周长为12.


20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，


∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．


∵∠ADC＝125°，


∴∠CDE＝55°.


∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.


又∵CD平分∠ACB，


∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.


又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.


∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.


21．证明：∵四边形ABCD是长方形，


∴∠B＝∠C＝90°.


∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.


∴∠EFB＋∠CFD＝90°.


∵∠EFB＋∠BEF＝90°，


∴∠BEF＝∠CFD.


在△BEF和△CFD中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BEF＝∠CFD，,BE＝CF，,∠B＝∠C，))


∴△BEF≌△CFD(ASA)．


∴BF＝CD.


22．(1)证明：∵OB＝OC，


∴∠OBC＝∠OCB.


∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，


∴∠BEC＝∠BDC＝90°.


∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°，


∴∠ABC＝∠ACB，


∴AB＝AC，


∴△ABC是等腰三角形．


(2)解：点O在∠BAC的平分线上．


理由：在△EOB和△DOC中，


OB＝OC，∠BEO＝∠CDO，


∠EOB＝∠DOC，


∴△EOB≌△DOC，


∴OE＝OD.


又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，


∴OE⊥AE，OD⊥AD.


∴点O在∠BAC的平分线上．


23．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.


∵DE⊥AB，DF⊥AC，


∴∠DEB＝∠DFC＝90°.


∵D是BC边的中点，


∴BD＝CD.


在△BED与△CFD中，


∵∠DEB＝∠DFC，


∠B＝∠C，BD＝CD，


∴△BED≌△CFD(AAS)．


(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，


∴△ABC是等边三角形．


∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.


又∵DE⊥AB，


∴∠EDB＝30°.


∴在Rt△BED中，BD＝2BE＝2.


∴BC＝2BD＝4.


∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12.


24．证明：连接PA，PB，PC，如图．





(第24题)


∵AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，


∴S△ABC＝eq \f(1,2)×BC×AD，S△PAB＝eq \f(1,2)×AB×PE，S△PAC＝eq \f(1,2)×AC×PF，S△PBC＝eq \f(1,2)×BC×PG.


∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC，


∴eq \f(1,2)×BC×AD＝eq \f(1,2)(AB×PE＋AC×PF＋BC×PG)．


∵△ABC是等边三角形，


∴AB＝BC＝AC，


∴BC×AD＝BC×(PE＋PF＋PG)，


∴AD＝PE＋PF＋PG.


25．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.


∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，


∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2.


∴∠BOC＝30°.


又∵∠OCB＝90°，


∴BC＝eq \f(1,2)OB＝1，∴OC＝eq \r(3).


∴点B的坐标为(eq \r(3)，1)．





(第25题)


(2)∠ABQ的大小始终不变．


∵△APQ，△AOB均为等边三角形，


∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°.


∴∠PAO＝∠QAB.


在△APO与△AQB中，


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AP＝AQ，,∠PAO＝∠QAB，,AO＝AB，))


∴△APO≌△AQB(SAS)．


∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.


(3)如图②，当OQ∥AB时点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，


∵AB∥OQ，


∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.


∴∠OBQ＝30°.


又OB＝OA＝2，


∴OQ＝eq \f(1,2)OB＝1，


∴BQ＝eq \r(3).


由(2)可知，△APO≌△AQB，


∴OP＝BQ＝eq \r(3).


∴此时点P的坐标为(－eq \r(3)，0)．