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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较一等奖课件ppt
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较一等奖课件ppt，文件包含第四章指数函数对数函数与幂函数45增长速度的比较课件pptx、第四章指数函数对数函数与幂函数45增长速度的比较教案docx、第四章指数函数对数函数与幂函数45增长速度的比较学案docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共53页， 欢迎下载使用。
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值将增加___个单位.(4)应用：比较函数值变化的快慢.
2.两种重要的函数增长(1)指数增长：①性质：当a>1时，指数函数f(x)=ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)=ax的函数值增长的越来越快；
②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长).(2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).
【思考】指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？提示：指数增长.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若f(x)=2x+1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位.( )(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.( )
(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.( )
提示：(1)×.自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位.(2)√.线性增长的增长速度是不变的.(3)×.当a>1时，指数增长速度比线性增长速度大.
3.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是________.(填序号)
【解析】因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确.答案：②④
类型一 比较函数值增加的快慢 【典例】已知函数y=4x，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律.
【思维·引】按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律.
【解析】因为 所以y=4x在区间[1，2]上的平均变化率为 =12，在区间[3，4]上的平均变化率为 =192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快.
【内化·悟】当区间左端点越大，函数值增加越快时，函数的图像有什么特征？提示：图像上升，图像越来越陡.
【类题·通】平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢，
(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响.
类型二 比较函数平均变化率的大小【典例】已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，h(x)=lg3x，比较这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率的大小.【思维·引】计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【解析】因为 =2×3a，又因为a>1，所以2×3a>2×31=6，lg3
【内化·悟】指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的顺序是什么？提示：由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数.
【类题·通】不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小.
【习练·破】已知函数f(x)=4x，g(x)=5x，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小.
【解析】 所以在区间[2，3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小.
类型三 函数增长速度的应用角度1 增长曲线的选择【典例】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V=f(h)的大致图像是( )
【思维·引】根据鱼缸的形状，判断h变化时水的体积V变化的快慢，选择变化曲线.
【解析】选B.当h=H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，综合分析可知选B.
【素养·探】在增长曲线的选择过程中，常常用到核心素养中的直观想象，根据变量增长的快慢，想象函数曲线的变化，从而选择恰当的曲线描述实际问题.本例中，若将鱼缸的形状变为如图的形状，则应选择哪一个曲线？
【解析】选D.当h=H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，最后增长速度快，类似于指数函数的图像，故综合分析可知选D.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数.(2)结合函数图像示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小.【思维·引】(1)根据两类函数图形的特征判断.(2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小.
【类题·通】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升快慢，即随着自变量的增长，图像最“陡”的函数是指数函数，图像趋于平缓的函数是对数函数.
【习练·破】函数f(x)=lgx，g(x)=0.3x-1的图像，如图所示：
【加练·固】 函数f(x)=1.1x，g(x)=ln x+1，h(x)= 的图像如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值将增加___个单位.(4)应用：比较函数值变化的快慢.
2.两种重要的函数增长(1)指数增长：①性质：当a>1时，指数函数f(x)=ax，当自变量每增加1个单位时，随着自变量的增大，f(x)=ax的函数值增长的越来越快；
②定义：类似指数函数的增长称为指数增长(或指数级增长、爆炸式增长).(2)线性增长：类似一次函数的增长称为线性增长(或直线增长).
【思考】指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？提示：指数增长.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若f(x)=2x+1，自变量每增加1个单位，函数值将增加1个单位.( )(2)增长速度是不为0的常数的函数模型是线性增长模型.( )
(3)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的增长速度一定比线性增长速度大.( )
提示：(1)×.自变量每增加1个单位，函数值将增加2个单位.(2)√.线性增长的增长速度是不变的.(3)×.当a>1时，指数增长速度比线性增长速度大.
3.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是________.(填序号)
【解析】因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确.答案：②④
类型一 比较函数值增加的快慢 【典例】已知函数y=4x，分别计算函数在区间[1，2]与[3，4]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律.
【思维·引】按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律.
【解析】因为 所以y=4x在区间[1，2]上的平均变化率为 =12，在区间[3，4]上的平均变化率为 =192，所以当自变量每增加1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快.
【内化·悟】当区间左端点越大，函数值增加越快时，函数的图像有什么特征？提示：图像上升，图像越来越陡.
【类题·通】平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢，
(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响.
类型二 比较函数平均变化率的大小【典例】已知函数f(x)=3x，g(x)=2x，h(x)=lg3x，比较这三个函数在区间[a，a+1](a>1)上的平均变化率的大小.【思维·引】计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【解析】因为 =2×3a，又因为a>1，所以2×3a>2×31=6，lg3
【内化·悟】指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的顺序是什么？提示：由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数.
【类题·通】不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小.
【习练·破】已知函数f(x)=4x，g(x)=5x，分别计算这两个函数在区间[2，3]上的平均变化率，并比较它们的大小.
【解析】 所以在区间[2，3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小.
类型三 函数增长速度的应用角度1 增长曲线的选择【典例】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V=f(h)的大致图像是( )
【思维·引】根据鱼缸的形状，判断h变化时水的体积V变化的快慢，选择变化曲线.
【解析】选B.当h=H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，综合分析可知选B.
【素养·探】在增长曲线的选择过程中，常常用到核心素养中的直观想象，根据变量增长的快慢，想象函数曲线的变化，从而选择恰当的曲线描述实际问题.本例中，若将鱼缸的形状变为如图的形状，则应选择哪一个曲线？
【解析】选D.当h=H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图像，最后增长速度快，类似于指数函数的图像，故综合分析可知选D.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数.(2)结合函数图像示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小.【思维·引】(1)根据两类函数图形的特征判断.(2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小.
【类题·通】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图像上升快慢，即随着自变量的增长，图像最“陡”的函数是指数函数，图像趋于平缓的函数是对数函数.
【习练·破】函数f(x)=lgx，g(x)=0.3x-1的图像，如图所示：
【加练·固】 函数f(x)=1.1x，g(x)=ln x+1，h(x)= 的图像如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点).
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