高中数学4.3 指数函数与对数函数的关系试讲课ppt课件

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1.反函数的定义(1)定义：如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.(2)记法：y=f-1(x).
2.反函数的求法对调y=f(x)中的x与y，然后从x=f(y)中求出y得到.
【思考】什么样的函数一定有反函数？提示：单调函数.
3.函数与其反函数的性质的关系(1)图像：关于直线y=x对称；(2)定义域、值域：原函数的定义域与其反函数的值域相同；原函数的值域与其反函数的定义域相同.(3)单调性：原函数与其反函数的单调性相同.
【思考】在不求反函数解析式的情况下，怎样求反函数的定义域、值域？提示：分别求原函数的值域、定义域.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)一次函数y=kx+b(k≠0)一定有反函数.(　　)(2)反比例函数y= (x≠0)一定有反函数.(　　)(3)点(1，0)一定在指数函数y=ax反函数的图像上.(　　)
提示：(1)√.一次函数y=kx+b(k≠0)一定是单调函数，因此一定有反函数.(2)√.对应值域中的任意一个y，x= 是唯一的，符合反函数的定义.(3)√. 指数函数y=ax的反函数是对数函数，对数函数一定过点(1，0).
3.若函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)，则f-1(1)=________. 【解析】令2x=1，则x=0，所以f-1(1)=0.答案：0
类型一　判断函数是否有反函数【典例】1.下列函数中，存在反函数的是(　　)
【解析】1.选D.因为f(x)=1时，x为任意的正实数，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在；因为g(x)=1时，x为任意的有理数，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在；
因为h(x)=2时，x=2或x=5，即对应的x不唯一，因此h(x)的反函数不存在；因为l(x)的值域{-2，-1，0，3，4}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此l(x)的反函数存在.
2.(1)令y=f(x)，因为y= ，是由反比例函数y= 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，在(-∞，1)，(1，+∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x与之对应，所以f(x)存在反函数.(2)令g(x)=3，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，即对应的x不唯一，因此g(x)的反函数不存在.
【内化·悟】怎样说明函数的反函数不存在？提示：选取值域中的一个值y，求出对应的自变量的值x，当自变量的值不唯一时，函数的反函数不存在.
【类题·通】判定函数存在反函数的方法(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存在.(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在.
(3)利用原函数的解析式，解出自变量x，如果x是唯一的，则函数的反函数存在.
【解析】(1)y= -2是由函数y= 向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(-∞，-1)，(-1，+∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数.
【加练·固】判断函数y=|x|的反函数是否存在.【解析】y=1，即|x|=1，解得x=±1，即对应的x不唯一，因此f(x)的反函数不存在.
2.函数f(x)= 的反函数是(　　)
【思维·引】按照求反函数的步骤求反函数.
所以f-1(x)=- ，x<0.综上，其反函数f-1(x)=
【内化·悟】对调x，y后，求x时应注意什么？提示：要注意x的范围.
【类题·通】反函数的求法(1)先确定原函数的值域，即反函数的定义域.(2)对调原函数解析式中的x和y，解出y.(3)写出反函数.
【习练·破】函数f(x)= 的反函数f-1(x)=________. 
类型三　原函数与其反函数性质的应用角度1　求值【典例】若函数f(x)= ，则f-1(2)的值为 (　　)A.5　　　　B.-5　　　　C. 　　　D. 4
【思维·引】反函数的自变量值即原函数的函数值.【解析】选B.令 =2，所以x=-5，所以f-1(2)=-5.
【素养·探】 在利用反函数求值的过程中，常常用到核心素养中的逻辑推理，需要根据原函数与反函数定义域、值域之间的关系灵活求值，不用求出反函数.本例的条件不变，试求f(f-1(2))，你能得出一个一般的结论吗？类比过程，你能直接求出f-1(f(2))吗？
【解析】f(f-1(2))=f(-5)= =2，因为f(x)=1- ≠1，可以得出f(f-1(x))=x，x≠1.类比过程，f-1(f(2))=2.
【思维·引】利用原函数与反函数的图像关于y=x对称求点.
【类题·通】1.定义域、值域关系的应用原函数的定义域是反函数的值域，值域是反函数的定义域，在求值的过程中，可以利用这一关系，转化已知函数的求值，不必求出反函数或原函数.
2.图像的应用原函数的图像与反函数的图像关于直线y=x对称，点P(x，y)关于y=x的对称点是P1(y，x)，利用这一关系可以将已知一条曲线上的点转化到另一条曲线上，直接求点或求值.
【习练·破】1.设函数f(x)=2lg(2x-1)，则f-1(0)的值为 (　　)A.0D.不存在
【解析】选B.令f(x)=0得：2lg(2x-1)=0⇒x=1，所以f-1(0)=1.
【加练·固】设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，若f(4)=0，则f-1(4)=(　　)A.0　　　　B.4　　　　C.-2　　　　D.2