数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程优质第1课时学案

这是一份数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程优质第1课时学案，共10页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。

第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程（导学案）





1.理解直线与方程的关系.


2.理解点斜式方程和斜截式方程的推导,并能明确其适用条件


3.知道直线的点斜式和斜截式方程的内在联系和参数含义


4.能利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决一些相关实际问题.





重点：利用点斜式方程和斜截式方程解决相关问题


难点：直线与方程的关系、点斜式方程和斜截式方程的推导





知识梳理


1.直线与方程


一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.此时,为了简单起见,“直线l”也可说成“直线F(x,y)=0”,并且记作l:F(x,y)=0.


2.直线的点斜式方程





3.直线的斜截式方程





点睛：(1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别.


(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图像就一目了然.因此,在解决直线的图像问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.


小试牛刀


1.判断


(1)如图所示,线段AB的方程为y=x+1.( )


(2)在平面直角坐标系中,y轴所在直线方程为y=0.( )





2.判断


直线y-3=m(x+9)恒过定点(9,-3).( )


3.过点(1,1)且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 .


4．方程y-y0x-x0=k和y-y0=k(x-x0)表示同一条直线吗?


5.判断


(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离. ( )


(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b. ( )


6.已知直线的斜率是2,且在y轴上的截距是-3,则此直线的方程是( )


A.y=2x-3 B.y=2x+3


C.y=-2x-3D.y=-2x+3


7.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( )


A.k>0,b>0 B.k>0,b<0


C.k<0,b>0 D.k<0,b<0





一、问题导学


设l1,l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1,l2是否唯一，如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标（x, y）应满足什么条件?


（1）已知l1的斜率不存在；


（2）已知l1的斜率不存在，且l1过点A（-2,1）；


（3）已知l2的斜率为3；


（4）已知l2的斜率为3且l2过点B（1,2）；


满足条件1的直线l1有无数条，但满足条件2的直线l1是唯一的，此时若P（x,y）为直线l1上的点，则必有x=-2，另外，任意横坐标为-2的点，一定都在直线l1上。





问题1 在平面直角坐标系内,如果一条直线l经过的一个定点P0(x0,y0),其斜率为k,能否将直线上所有的点的坐标(x,y)满足的关系表示出来呢?


提示可以利用斜率公式k=y-y0x-x0得出y-y0=k(x-x0).








二、典例解析


例1求满足下列条件的直线的方程:


(1)过点P(-4,3),斜率k=-2;


(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;


(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.








利用点斜式求直线方程的步骤


(1)确定直线要经过的定点(x0,y0);


(2)明确直线的斜率k;


(3)由点斜式直接写出直线方程.


注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为x=x0.


跟踪训练1 求斜率是直线x-y+1=0的斜率的3倍,且分别满足下列条件的直线方程.


(1)经过点P(3,4);


(2)在x轴上的截距是-5.








例2 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.


(1)求直线l的方程;


(2)当m为何值时,直线通过(1,1)点?








变式练习 (1)将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程?


(2)将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?








对直线的斜截式方程的理解要注意以下几点:


(1)由直线的斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特殊情况.


(2)直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线.


(3)斜截式方程y=kx+b的特点:左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|.





1.已知直线的方程是y+2=-x-1,则( )


A.直线经过点(-1,2),斜率为-1


B.直线经过点(2,-1),斜率为-1


C.直线经过点(-1,-2),斜率为-1


D.直线经过点(-2,-1),斜率为1


2.已知直线l的方程为y+274=94(x-1),则l在y轴上的截距为( )


A.9B.-9


C.274D.-274


3.已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为( )


A.y=3x+2B.y=-3x+2


C.y=-3x-2D.y=3x-2


4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )


A.y=12x+4B.y=2x+4


C.y=-2x+4D.y=-12x+4


5.已知直线l过点P(2,1),且直线l的斜率为直线x-4y+3=0的斜率的2倍,则直线l的点斜式方程为 .


6.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程.











参考答案：


知识梳理


1.答案:(1)× (2)×


2.答案:×


3.答案:y-1=x-1


4．提示:方程y-y0x-x0=k和y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的直线缺少一个点P0(x0,y0).


5.答案:(1)× (2)×


6.答案:A


7.答案:B


学习过程


例1分析利用直线的点斜式方程及特殊位置的直线表示形式解答.


解:(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),


整理得所求方程为2x+y+5=0.


(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行,则斜率k=0,


故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.


(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,


又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.


跟踪训练1 解:由x-y+1=0,得y=x+1,


∴直线x-y+1=0的斜率为1.


由题意可得,所求直线的斜率k=3.


(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.


(2)由题意知直线经过点(-5,0),


所求直线的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.


例2 分析(1)直接套用直线的斜截式方程;(2)将点(1,1)代入所设方程求m.


解:(1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.


(2)只需将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.


变式练习解:(1)直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,


则由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.


(2)由题意知直线方程为y=2x+m.故直线在两坐标轴上的截距分别为-m2,m,


所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×-m2·|m|=1,解得m=±2.





达标检测


1.解析:由y+2=-x-1,得y+2=-(x+1),所以直线的斜率为-1,过点(-1,-2).


答案:C


2.解析:由y+274=94(x-1),得y=94x-9,∴l在y轴上的截距为-9.


答案:B


3.解析:∵α=60°,∴k=tan 60°=3,∴直线l的方程为y=3x-2.


答案:D


4.解析:由题意可设所求直线方程为y=kx+4,又由2k=-1,得k=-12,∴所求直线方程为y=-12x+4.


答案:D


5.解析:由x-4y+3=0,得y=14x+34,其斜率为14,


故所求直线l的斜率为12,又直线l过点P(2,1),


所以直线l的点斜式方程为y-1=12(x-2).


答案:y-1=12(x-2)


6.解:由题意知,直线l的斜率为32,


故设直线l的方程为y=32x+b,


l在x轴上的截距为-23b,在y轴上的截距为b,


所以-23b-b=1,b=-35,


所以直线l的斜截式方程为y=32x-35.


点斜式
已知条件
点P(x0,y0)和斜率k
图示
方程形式
y-y0=k(x-x0)
适用条件
斜率存在
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式
y=kx+b
适用条件
斜率存在