高中人教B版 (2019)2.2.2 直线的方程优秀第2课时2课时导学案

这是一份高中人教B版 (2019)2.2.2 直线的方程优秀第2课时2课时导学案，共14页。学案主要包含了问题导学，典例解析等内容，欢迎下载使用。

第2课时 直线的两点式方程与一般式方程





1.会利用方向向量推导出直线的两点式方程.


2.理解直线的两点式、截距式和一般式方程的内在联系.


3.结合图示明确直线的两点式、截距式和一般式方程的适用范围.


4.根据提供的条件,能恰当地选取合适的方程形式解决实际问题,并能进行方程形式上的转化.





重点： 根据条件能合适选取两点式、截距式和一般式方程求直线方程


难点：用方向向量推导出直线的两点式方程，理解不同方程间的联系





知识梳理


1.直线的两点式方程











概念解析





点睛： (1)若直线l过点A(0,b),B(a,0),且ab≠0,则直线l的方程可利用两点式得出并化简为xa+yb=1的形式,这一方程形式可以称之为直线的截距式方程,其中a是直线在x轴上的截距,b是直线在y轴上的截距.


(2)若直线l的方程为xa+yb=1,则


①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+a2+b2;


②直线与坐标轴围成的三角形的面积为S=12|ab|;


③当直线在两坐标轴上的截距相等时,直线l的斜率k=-1,


故常设直线方程为x+y=a.





2.直线的一般式方程


所有的直线方程都可以写成Ax+By+C=0的形式,其中A,B,C都是实常数,而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0).Ax+By+C=0一般称为直线的一般式方程.











点睛： (1)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的方程形式及适用范围.


(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系











小试牛刀





1.判断


(1)直线的两点式方程适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.( )


(2)过原点的直线不适用两点式方程.( )


2.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为 .


3.判断


(1)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.( )


(2)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线.( )


(3)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线.( )


4. 在平面直角坐标系中,直线x+3y-3=0的倾斜角是( )


A.30° B.60° C.150° D.120°


5.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,直线恒过定点 .











一、问题导学


在初中我们已经知道两点确定一条直线,那么,在平面内经过两个定点的直线的方程能否用“公式”写出来呢?若这两个点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),你有几种思路写出上述所求的“公式”呢?我们学过的直线方程的各种形式,最后能否都归为一种形式呢?








问题1：两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1表示直线方程的条件是什么?两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了?








问题2：在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,当A=0或B=0时方程分别表示怎样的直线?





二、典例解析


例1已知A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC中,


(1)求BC边所在的直线方程;


(2)求BC边上的中线所在直线的方程.








变式 若本例条件不变,试求BC边的垂直平分线所在直线的方程.














1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴.若满足,则考虑用两点式求方程.


2.由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x2与y2是同一点坐标,而x1与y1是另一点坐标.


跟踪训练1(1)经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为( )


A.2B.-3C.-27 D.27


(2)已知直线2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是( )


A.2x-3y=4B.2x-3y=0


C.3x-2y=4D.3x-2y=0


例2已知点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,求xy的最大值.














对直线的截距式方程应注意以下几点:


(1)在方程xa+yb=1中,要求a≠0,b≠0,即直线在x轴与y轴上的截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线.


(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,若选用截距式来求解,注意截距都为0,即直线过原点这种情况.


跟踪训练2在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是( )


A.4x+3y-12=0B.4x-3y+12=0


C.4x+3y-1=0D.4x-3y+1=0





例3根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.


(1)斜率是3,且经过点A(5,3);


(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;


(3)经过点A(-1,5),B(2,-1)两点;


(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1;


(5)经过点B(4,2),且平行于x轴.














1.在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,然后可以转化为一般式.


2.当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,直线Ax+By+C=0有如下性质:


(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;


(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;


(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;


(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;


(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.


跟踪训练3(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.


①斜率是- 12 ,且经过点A(8,-6)的直线方程为 ;


②在x轴和y轴上的截距分别是32和-3的直线方程为 ;


③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为 .


(2)直线l:3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线l'的方程为( )


A.4x-3y+5=0B.4x-3y-5=0


C.3x+4y-5=0D.3x+4y+5=0


例4设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.


(1)已知直线l在x轴上的截距为-3,求m的值;


(2)已知直线l的斜率为1,求m的值.








变式：对于本例中的直线l的方程,若直线l与y轴平行,求m的值.


1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为零.


2.令x=0可得在y轴上的截距,令y=0可得在x轴上的截距,若确定直线的斜率存在,可将一般式化为斜截式.


3.解分式方程要注意验根.


跟踪训练4(1)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足( )


A.m≠0B.m≠-32


C.m≠1D.m≠1,m≠-32,m≠0


(2)若直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则a= .








金题典例 求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.








1.经过两点(5,0),(2,-5)的直线方程为( )


A.5x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0


C.3x-5y-25=0 D.5x-3y+25=0


2.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )


A.0,π4B.0,π2∪34π,π


C.π2,πD.34π,π


3.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为( )


A.x-y+1=0B.x+y-3=0


C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=0或x-y+1=0


4.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是 .


5.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值.


(1)直线l的斜率为-1;


(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.

















参考答案：


知识梳理


1.判断答案:(1)√ (2)×


2.解析:由y-27-2=x-34-3,整理得5x-y-13=0. 答案:5x-y-13=0


3.判断答案:(1)× (2)× (3)×


4. 解析:直线斜率k=-33,所以倾斜角为150°,故选C.


答案:C


5.解析:kx-y+1-3k=0可化为y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1).


答案:(3,1)


学习过程


问题1：提示:两点式除了不适用于斜率为0与斜率不存在的直线,其他情况均可表示;只需将 变形为(x-x1)·(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能适用于所有直线了.


问题2：提示:在方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)中,若B=0,则x=-CA,它表示一条与y轴平行或重合的直线,此时直线的斜率不存在;若A=0,则y=- CB,它表示一条与x轴平行或重合的直线,此时直线的斜率为0.





例1解:(1)BC边过两点B(5,-4),C(0,-2),


由两点式,得y-(-4)-2-(-4)=x-50-5,即2x+5y+10=0,


故BC边所在的直线方程为2x+5y+10=0.


(2)设BC的中点为M(a,b),


则a=5+02=52,b=-4+(-2)2=-3,所以M52,-3,


又BC边的中线过点A(-3,2),


所以y-2-3-2=x-(-3)52-(-3),即10x+11y+8=0,


所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.


变式解:kBC=-4-(-2)5-0=-25,


则BC边的垂直平分线的斜率为52,


又BC的中点坐标为52,-3,


由点斜式方程可得y+3=52x-52,


即10x-4y-37=0.


所以BC边的垂直平分线所在直线的方程为10x-4y-37=0.


跟踪训练1(1)解析:经过点A(2,5),B(-3,6)的直线方程为x-2-3-2=y-56-5,即x27+y275=1,


故直线在x轴上的截距为27,故选D. 答案:D


(2)答案:A


例2解:由题意,得lAB:x3+y4=1,所以线段AB的方程为4x+3y-12=0(0≤x≤3).


所以xy=x·4-43x=4x-43x2=-43x-322+3.所以当x=32时,xy取得最大值3.


跟踪训练2解析:根据直线方程的截距式写出直线方程x-3+y4=1,化简得4x-3y+12=0,故选B.


答案:B


例3解:(1)由点斜式,得直线方程为y-3=3(x-5),


即3x-y-53+3=0.


(2)由斜截式,得直线方程为y=4x-2,


即4x-y-2=0.


(3)由两点式,得直线方程为y-5-1-5=x-(-1)2-(-1),


即2x+y-3=0.


(4)由截距式,得直线方程为x-3+y-1=1.


即x+3y+3=0.


(5)y-2=0.





跟踪训练3(1)答案:①x+2y+4=0 ②2x-y-3=0 ③x+y-1=0


(2)解析:在直线l'上任取一点(x,y),此点关于直线x+y=0的对称点(-y,-x)在直线l:3x-4y+5=0上,


∴3(-y)-4(-x)+5=0,即4x-3y+5=0,


故选A. 答案:A


例4解:(1)由题意知m2-2m-3≠0,即m≠3且m≠-1.


令y=0,则x=2m-6m2-2m-3,


∴2m-6m2-2m-3=-3,得m=-53或m=3(舍去).


∴m=-53.


(2)由题意知,2m2+m-1≠0,即m≠12且m≠-1.


由直线l化为斜截式方程


得y=m2-2m-32m2+m-1x+6-2m2m2+m-1,


得m2-2m-32m2+m-1=1,


得m=-2或m=-1(舍去).


∴m=-2.


解:∵直线l与y轴平行,∴m2-2m-3≠0,-(2m2+m-1)=0,6-2m≠0,


∴m=12.


跟踪训练4(1)解析:因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,


所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1.


答案:C


(2)解析:由题意知a≠0,当x=0时,y=2; 当y=0时,x=2a,∵2=2a,∴a=1.


答案:1


金题典例 错解:设直线方程为xa+ya=1,


将x=2,y=3代入,得2a+3a=1,解得a=5.


故所求的直线方程为x+y-5=0.


错因分析忘记截距为0的情况,而导致丢解.


正解1(1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),


所以直线l的斜率为k=3-02-0=32,


所以直线l的方程为y=32x,即3x-2y=0.


(2)当截距不为0时,可设直线l的方程为xa+ya=1.


因为直线l过点P(2,3),所以2a+3a=1,得a=5.


所以直线l的方程为x+y-5=0.


综上可知,直线l的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.





正解2由题意知,直线l的斜率存在,且不为0.


设直线方程为y-3=k(x-2),且k≠0.


令x=0,则y=3-2k;令y=0,则x=2-3k.


由题意,知3-2k=2-3k,解得k=32或k=-1.


故满足条件的直线方程是y-3=32(x-2)或y-3=-(x-2),


即3x-2y=0或x+y-5=0.





达标检测


1.解析:由两点式得y-0-5-0=x-52-5,所以得5x-3y-25=0.


答案:B


2.解析:∵k=-1a2+1,∴-1≤k<0.所以倾斜角的取值范围是34π,π.


答案:D


3.解析:当直线过原点时,可得斜率为k=2-01-0=2,


所以直线方程为y=2x,即2x-y=0;


当直线不过原点时,设方程为xa+y-a=1,


代入点(1,2)可得1a-2a=1,解得a=-1,


所以直线方程为x-y+1=0.


综上,所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.


故选D.


答案:D


4.解析:由题意知直线过点(2,0),整理得3x+y-6=0.


又直线过点(1,3),由两点式可得,y-03-0=x-21-2,


答案:3x+y-6=0


5.解:(1)∵直线l的斜率存在,


∴直线l的方程可化为y=-2k-3x+2.


由题意得-2k-3=-1,解得k=5.


(2)直线l的方程可化为xk-3+y2=1.


由题意得k-3+2=0,解得k=1.



已知条件
图示
方程式
适用条件
两点


式
P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2

斜率存在


且不为0

方程形式
局限
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
不能表示斜率不存在或斜率为0的直线
截距式
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
无