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人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程优秀ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)第二章 平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程优秀ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了直线的两点式方程，直线的一般式方程等内容，欢迎下载使用。
重点：直线点斜式方程的推导（点斜式是直线方程的重中之重）难点：直线与二元一次方程的对应关系
1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式方程.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系.
1.直线的点斜式方程与斜截式方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解，而且以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F（x，y）＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）＝0的直线.此时，为了简单起见，“直线l”也可说成“直线F（x，y）＝0”，并且记作l：F（x，y）＝0.
一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距.方程y＝kx+b由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截式方程.
Ax+By+C＝0形式的方程称为直线的一般式方程.其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零（即A2+B2≠0）.· 直线方程Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的系数A，B，C满足下列关系时直线的性质： （1）当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴相交； （2）当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； （3）当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； （4）当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； （5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
题组一 直线的方程和方程的直线例1 判断下列各点是否在直线y＝-2x-6上：A（0，-5），B（-3，0），C（1，-7），D（2，-10）.
【解】 点A（0，-5）不在直线y＝-2x-6上，因为-5≠-2×0-6，即-5≠-6；点B（-3，0）在直线y＝-2x-6上，因为0＝-2×（-3）-6，即0＝0；点C（1，-7）不在直线y＝-2x-6上，因为-7≠-2×1-6，即-7≠-8；点D（2，-10）在直线y＝-2x-6上，因为-10＝-2×2-6，即-10＝-10.
题组二 已知直线上一点坐标，其斜率不存在条件下，求其方程例2 求过点P（3，-1），且与y轴平行的直线方程.
【解题提示】 利用特殊位置的直线表示形式解答.【解】 直线与y轴平行，说明斜率不存在.又因为直线过点P（3，-1），所以直线的方程为x＝3.
过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程为 .
解析：过点A（2，0）且与x轴垂直的直线斜率不存在，直线方程是x＝2.答案：x=2
题组三 直线的点斜式方程例3 ［2020·河南周口高一检测］求满足下列条件的直线的方程：（1）过点P（-4，3），斜率k＝-2；（2）过点P（2，-5），且与x轴平行.
【解题提示】 经过一定点且已知斜率的直线可用直线的点斜式方程表示.【解】 （1）直线过点P（-4，3），斜率k＝-2，由点斜式得y-3＝-2（x+4），整理得所求方程为2x+y+5＝0.（2）直线过点P（2，-5），且与x轴平行，则斜率k＝0.故所求直线方程为y+5＝0（x-2），即y＝-5.
［2020·广东湛江高二检测］直线y＝x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程.
解：∵ 直线y＝x+1的斜率k＝1，∴ 倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，∴ 直线l的斜率k′＝tan 135°＝-1.又点P（3，4）在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y-4＝-（x-3）.
题组四 直线的截距例4 下列三个说法中正确的有 （填序号）.①任何一条直线在y轴上都有截距；②直线在y轴上的截距一定是正数；③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x轴的直线.
【解析】 因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误.不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确.【答案】 ③
［2020·江苏昆山中学高二月考］直线方程为y+2＝2x-2，则直线在y轴上的截距为 .
解析：由y+2＝2x-2，令x＝0，得y+2＝-2，∴ 直线在y轴上的截距为-4.答案：-4
题组五 直线的斜截式方程<1>辨析直线的斜截式方程例5 集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A，B间的关系是 .
<2>已（易）知直线的截距、斜率，可代入斜截式，求其方程例6 写出下列直线的斜截式方程：（1）直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；（2）直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2.
［2020·江苏扬州高二检测］直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为-3.（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
<3>已知直线的斜率存在，可设点斜式、斜截式，求其方程例7 已知直线l在y轴上的截距为-3，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.
［2020·杭州学军中学高二检测］已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点（6，-2），求直线l的方程.
【规律方法】待定系数法求直线方程的步骤1.根据判断，设出所求直线方程的一种形式；2.由条件建立所求参数的方程（组）；3.解方程（组）求出参数；4.把参数值代入所设直线方程，最后将直线方程写为一般式.
<4>根据直线斜截式方程系数的几何意义，判断其在平面直角坐标系中的图象例8 直线y＝kx+b（k+b＝0，k≠0）的图象可能是图中的 （填序号）.
① ② ③ ④
【解题提示】 k+b＝0→k与b互为相反数→将直线方程化为点斜式→求出直线过的定点→得到结论.【解析】 已知k+b＝0，所以k＝-b，代入直线方程，可得y＝-bx+b，即y＝-b（x-1）.又k≠0，所以b≠0，所以直线过定点（1，0），只有②中图象符合.【答案】 ②
［2020·山东潍坊高二检测］下列在同一平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（ ）
A B C D
题组六 直线的两点式方程例9 已知直线l经过两点（-1，2），（-3，-2），则直线l的方程是 .
例10 已知两点A（-1，2），B（m，3），求直线AB的方程.【解题提示】 在求解本题时，容易忽略对m的讨论，直接应用两点式求解，或求出斜率后，应用点斜式求解.事实上，当m＝-1时，我们是不能应用两点式和点斜式的.【解】 （方法1）当m＝-1时，由A（-1，2），B（-1，3），得直线AB的方程为x＝-1；当m≠-1时，由A（-1，2），B（m，3），得直线AB的斜率k＝ ，利用点斜式，得直线AB的方程为y-2＝ （x+1），即x-（m+1）y+2m+3＝0.（方法2）当m＝-1时，由A（-1，2），B（-1，3），得直线AB的方程为x＝-1；当m≠-1时，由A（-1，2），B（m，3），利用两点式，得直线AB的方程为 ＝ ，即x-（m+1）y+2m+3＝0.
一条光线从点A（3，2）出发，经x轴反射后，通过点B（-1，6），求入射光线和反射光线所在直线的方程.
题组七 直线的截距式方程<1>已（易）知直线在x轴、y轴上的截距，可代入截距式，求其方程例10 在x轴和y轴上的截距分别为-2，3的直线的截距式方程是 .
<2>已知直线的截距关系，谨慎设截距式，求其方程例11 过点（5，2）且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是 .
1. ［2020·吉林白山高一期末］过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条
2. ［2020·长沙市长郡中学高二检测］直线l过点P（8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为 .
x-y-2＝0或x+y-14＝0
3. ［2019·辽宁大连高一检测］直线l过定点A（-2，3），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
【解题技法】当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“截距的绝对值相等”“在一坐标轴上的截距是在另一坐标轴上截距的m倍”“与两坐标轴所围三角形的周长（或面积）”等这样的条件时，若采用截距式求直线方程，一定要注意应该从截距为零和不为零两方面考虑，不要习惯性地设直线的截距式方程，而丢掉直线过原点的情况.
［2020·郑州市第一中学高二检测］若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则AB 0，BC 0.（填“>”“<”或“＝”）
<2>已知直线的含参一般式方程，求参数例13 直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+6＝0（k≠3），分别根据下列条件确定k的值.（1）直线l的斜率为2；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
题组九 已知直线的含参方程，求其所过定点例14 当a∈R时，求证直线ax+y+a+2＝0必过定点，并求定点的坐标.
（方法3）令a＝0，则y+2＝0；①令a＝1，则x+y+3＝0.②联立①②，解得x＝-1，y＝-2.③将③代入直线方程，经检验满足直线方程，∴ 直线恒过定点（-1，-2）.
［2020·河北衡水中学高二检测］已知直线l：y＝kx+2k+1.（1）求证：直线l过一个定点；（2）当-3
题组十 直线的法向量例15 求过点P（1，2），且一个法向量n＝（3，4）的直线l的方程.
［2020·长沙市雅礼中学高二检测］已知直线l经过A（3，2），而且v＝（3，-4）是直线l的一个法向量，求直线l的方程.
重点：直线点斜式方程的推导（点斜式是直线方程的重中之重）难点：直线与二元一次方程的对应关系
1.会求直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式方程.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系.
1.直线的点斜式方程与斜截式方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解，而且以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F（x，y）＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）＝0的直线.此时，为了简单起见，“直线l”也可说成“直线F（x，y）＝0”，并且记作l：F（x，y）＝0.
一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距.方程y＝kx+b由直线的斜率和截距确定，通常称为直线的斜截式方程.
Ax+By+C＝0形式的方程称为直线的一般式方程.其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零（即A2+B2≠0）.· 直线方程Ax+By+C＝0（A2+B2≠0）的系数A，B，C满足下列关系时直线的性质： （1）当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴相交； （2）当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； （3）当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； （4）当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； （5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合.
题组一 直线的方程和方程的直线例1 判断下列各点是否在直线y＝-2x-6上：A（0，-5），B（-3，0），C（1，-7），D（2，-10）.
【解】 点A（0，-5）不在直线y＝-2x-6上，因为-5≠-2×0-6，即-5≠-6；点B（-3，0）在直线y＝-2x-6上，因为0＝-2×（-3）-6，即0＝0；点C（1，-7）不在直线y＝-2x-6上，因为-7≠-2×1-6，即-7≠-8；点D（2，-10）在直线y＝-2x-6上，因为-10＝-2×2-6，即-10＝-10.
题组二 已知直线上一点坐标，其斜率不存在条件下，求其方程例2 求过点P（3，-1），且与y轴平行的直线方程.
【解题提示】 利用特殊位置的直线表示形式解答.【解】 直线与y轴平行，说明斜率不存在.又因为直线过点P（3，-1），所以直线的方程为x＝3.
过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程为 .
解析：过点A（2，0）且与x轴垂直的直线斜率不存在，直线方程是x＝2.答案：x=2
题组三 直线的点斜式方程例3 ［2020·河南周口高一检测］求满足下列条件的直线的方程：（1）过点P（-4，3），斜率k＝-2；（2）过点P（2，-5），且与x轴平行.
【解题提示】 经过一定点且已知斜率的直线可用直线的点斜式方程表示.【解】 （1）直线过点P（-4，3），斜率k＝-2，由点斜式得y-3＝-2（x+4），整理得所求方程为2x+y+5＝0.（2）直线过点P（2，-5），且与x轴平行，则斜率k＝0.故所求直线方程为y+5＝0（x-2），即y＝-5.
［2020·广东湛江高二检测］直线y＝x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程.
解：∵ 直线y＝x+1的斜率k＝1，∴ 倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，∴ 直线l的斜率k′＝tan 135°＝-1.又点P（3，4）在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y-4＝-（x-3）.
题组四 直线的截距例4 下列三个说法中正确的有 （填序号）.①任何一条直线在y轴上都有截距；②直线在y轴上的截距一定是正数；③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x轴的直线.
【解析】 因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以①错误.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以②错误.不垂直于x轴的任何直线都有斜率，所以都能用直线的斜截式方程表示，所以③正确.【答案】 ③
［2020·江苏昆山中学高二月考］直线方程为y+2＝2x-2，则直线在y轴上的截距为 .
解析：由y+2＝2x-2，令x＝0，得y+2＝-2，∴ 直线在y轴上的截距为-4.答案：-4
题组五 直线的斜截式方程<1>辨析直线的斜截式方程例5 集合A＝{直线的斜截式方程}，B＝{一次函数的解析式}，则集合A，B间的关系是 .
<2>已（易）知直线的截距、斜率，可代入斜截式，求其方程例6 写出下列直线的斜截式方程：（1）直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；（2）直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2.
［2020·江苏扬州高二检测］直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为-3.（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
<3>已知直线的斜率存在，可设点斜式、斜截式，求其方程例7 已知直线l在y轴上的截距为-3，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.
［2020·杭州学军中学高二检测］已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点（6，-2），求直线l的方程.
【规律方法】待定系数法求直线方程的步骤1.根据判断，设出所求直线方程的一种形式；2.由条件建立所求参数的方程（组）；3.解方程（组）求出参数；4.把参数值代入所设直线方程，最后将直线方程写为一般式.
<4>根据直线斜截式方程系数的几何意义，判断其在平面直角坐标系中的图象例8 直线y＝kx+b（k+b＝0，k≠0）的图象可能是图中的 （填序号）.
① ② ③ ④
【解题提示】 k+b＝0→k与b互为相反数→将直线方程化为点斜式→求出直线过的定点→得到结论.【解析】 已知k+b＝0，所以k＝-b，代入直线方程，可得y＝-bx+b，即y＝-b（x-1）.又k≠0，所以b≠0，所以直线过定点（1，0），只有②中图象符合.【答案】 ②
［2020·山东潍坊高二检测］下列在同一平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（ ）
A B C D
题组六 直线的两点式方程例9 已知直线l经过两点（-1，2），（-3，-2），则直线l的方程是 .
例10 已知两点A（-1，2），B（m，3），求直线AB的方程.【解题提示】 在求解本题时，容易忽略对m的讨论，直接应用两点式求解，或求出斜率后，应用点斜式求解.事实上，当m＝-1时，我们是不能应用两点式和点斜式的.【解】 （方法1）当m＝-1时，由A（-1，2），B（-1，3），得直线AB的方程为x＝-1；当m≠-1时，由A（-1，2），B（m，3），得直线AB的斜率k＝ ，利用点斜式，得直线AB的方程为y-2＝ （x+1），即x-（m+1）y+2m+3＝0.（方法2）当m＝-1时，由A（-1，2），B（-1，3），得直线AB的方程为x＝-1；当m≠-1时，由A（-1，2），B（m，3），利用两点式，得直线AB的方程为 ＝ ，即x-（m+1）y+2m+3＝0.
一条光线从点A（3，2）出发，经x轴反射后，通过点B（-1，6），求入射光线和反射光线所在直线的方程.
题组七 直线的截距式方程<1>已（易）知直线在x轴、y轴上的截距，可代入截距式，求其方程例10 在x轴和y轴上的截距分别为-2，3的直线的截距式方程是 .
<2>已知直线的截距关系，谨慎设截距式，求其方程例11 过点（5，2）且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是 .
1. ［2020·吉林白山高一期末］过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条
2. ［2020·长沙市长郡中学高二检测］直线l过点P（8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为 .
x-y-2＝0或x+y-14＝0
3. ［2019·辽宁大连高一检测］直线l过定点A（-2，3），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
【解题技法】当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“截距的绝对值相等”“在一坐标轴上的截距是在另一坐标轴上截距的m倍”“与两坐标轴所围三角形的周长（或面积）”等这样的条件时，若采用截距式求直线方程，一定要注意应该从截距为零和不为零两方面考虑，不要习惯性地设直线的截距式方程，而丢掉直线过原点的情况.
［2020·郑州市第一中学高二检测］若直线Ax+By+C＝0经过第一、二、四象限，则AB 0，BC 0.（填“>”“<”或“＝”）
<2>已知直线的含参一般式方程，求参数例13 直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+6＝0（k≠3），分别根据下列条件确定k的值.（1）直线l的斜率为2；（2）直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
题组九 已知直线的含参方程，求其所过定点例14 当a∈R时，求证直线ax+y+a+2＝0必过定点，并求定点的坐标.
（方法3）令a＝0，则y+2＝0；①令a＝1，则x+y+3＝0.②联立①②，解得x＝-1，y＝-2.③将③代入直线方程，经检验满足直线方程，∴ 直线恒过定点（-1，-2）.
［2020·河北衡水中学高二检测］已知直线l：y＝kx+2k+1.（1）求证：直线l过一个定点；（2）当-3
题组十 直线的法向量例15 求过点P（1，2），且一个法向量n＝（3，4）的直线l的方程.
［2020·长沙市雅礼中学高二检测］已知直线l经过A（3，2），而且v＝（3，-4）是直线l的一个法向量，求直线l的方程.
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