高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第3课时导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第3课时导学案，共11页。学案主要包含了直线的一般式方程，直线的法向量与一般式方程的关系，直线的一般式方程的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们知道每一种形式都有它的适用范围，而且发现它们都是二元一次方程，我们今天要研究的是能否用统一的一个方程来表示上述四种形式．
一、直线的一般式方程
问题1 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线．
知识梳理
1．直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程．我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的一般式方程．
(1)A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
(2)直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程．
2．直线方程五种形式的比较
注意点：(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，
即eq \r(3)x－y－5eq \r(3)＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是－eq \f(1,2)，且经过点A(8，－6)；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)和－3；
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y＋6＝－eq \f(1,2)(x－8)，
即x＋2y＋4＝0.
(2)由截距式，得直线方程为eq \f(x,\f(3,2))＋eq \f(y,－3)＝1，
即2x－y－3＝0.
(3)由两点式，得直线方程为eq \f(y－－2,－2－－4)＝eq \f(x－3,3－5)，
即x＋y－1＝0.
二、直线的法向量与一般式方程的关系
问题2 如何用直线的一般式的系数表示直线的方向向量和法向量？
提示 对于Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，当B≠0时，直线的斜率为k＝－eq \f(A,B)，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(A,B)))为直线的一个方向向量，一般地，(B，－A)是任意直线的方向向量，由直线的法向量与直线方向向量的垂直关系，可知(A，B)是直线的一个法向量．
知识梳理
a＝(B，－A)为直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量．
v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量．
例2 求下列直线的方程：
(1)经过点(2,1)，且一个法向量为v＝(2，－3)；
(2)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2,4)．
解 (1)∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
(2)方法一 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴k＝eq \f(4,2)＝2，
故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，解得C＝－14，
∴所求直线方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0.
反思感悟 已知直线的方向向量或法向量求直线方程的思路
(1)若已知直线的法向量(m，n)，可直接设直线的方程为mx＋ny＋C＝0，然后代点求C；
(2)若已知直线的方向向量，可先求直线的斜率，然后利用点斜式求直线的方程，但需要考虑斜率不存在的情况，或转化为直线的法向量．
跟踪训练2 直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝________.
答案 3
解析 由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2，1)，所以a⊥v，
所以2m－6＝0，解得m＝3.
三、直线的一般式方程的应用
例3 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝eq \f(2m－6,m2－2m－3)，
∴eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq \f(5,3)或m＝3(舍去)．
∴m＝－eq \f(5,3).
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，
即m≠eq \f(1,2)且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq \f(6－2m,2m2＋m－1)，
则eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解 ∵直线l与y轴平行，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,－2m2＋m－1＝0，,6－2m≠0，))∴m＝eq \f(1,2).
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练3 (1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
答案 6
解析 直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
故令A(4,0)，B(0,3)，S△AOB＝eq \f(1,2)×4×3＝6.
(2)直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案 (－2,1)
解析 方法一 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，
由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2,1)．
方法二 直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,－y＋1＝0，))解得x＝－2，y＝1，
则直线l过定点(－2,1)．
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线的一般式方程与其他四种形式的区别与联系以及相互转化．
(3)直线的一般式方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、公式法、分类讨论．
3．常见误区：直线的一般式方程转化为其他四种形式时易忽视讨论斜率不存在的情况．
1．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案 C
2．在直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.
3．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( )
A．－3 B．3 C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 D
解析 由点(1，－1)在直线上，可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，
即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－eq \f(1,3).
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为________．
答案 3
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))
∴m＝3.
课时对点练
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为( )
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案 D
解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝0
答案 C
解析 依题意P(4,0)，Q(0,2)，
所以直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，
即x＋2y－4＝0，故选C.
3．直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为( )
A．3x－y＋2＝0 B．3x＋y－2＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y－2＝0
答案 B
解析 ∵直线的方向向量为a＝(1，－3)，
∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
4．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案 D
解析 如图，ax＋by＋c＝0可化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a,b)>0，,－\f(c,b)>0，))
即ab<0，bc<0.
5．(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2,1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是( )
A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0
C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0
答案 AD
解析 将点(2,1)代入直线方程有
m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝3时直线l的方程为x－3y＋1＝0，
即y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)，
斜率为eq \f(1,3)，故所求直线的斜率k＝－eq \f(1,3)，
方程为y－1＝－eq \f(1,3)(x－2)，即x＋3y－5＝0.
当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
即y＝－x＋3，斜率为－1，
故所求直线的斜率为k＝1，
方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.
故选AD.
6．(多选)下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法不正确的是( )
A．直线l的斜率为－eq \f(1,m)
B．直线l过定点(1,0)
C．直线l在y轴上的截距为eq \f(1,m)
D．直线l的方程可化为截距式
答案 ACD
解析 当m＝0时，直线l：x－1＝0表示一条垂直于x轴的直线，斜率不存在，与y轴无交点，故A，C，D不正确；又当y＝0时，x＝1，故直线过定点(1,0)，故B正确．
7．直线l的一个法向量为v＝(3,2)且过点(2,3)，则直线l的方程为________________．
答案 3x＋2y－12＝0
解析 ∵直线l的一个法向量为v＝(3,2)，
故设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，代入点(2,3)，
有6＋6＋C＝0，即C＝－12，
故直线l的方程为3x＋2y－12＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －eq \f(4,15)
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－eq \f(4,15).
9．求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的3倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.
解 (1)直线3x＋8y－1＝0可化为y＝－eq \f(3,8)x＋eq \f(1,8)，斜率为－eq \f(3,8)，
故所求直线方程为y＋3＝－eq \f(9,8)(x＋1)，
即9x＋8y＋33＝0.
(2)设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,4)＝1(a≠0)，
∴S＝eq \f(1,2)·|a|·4＝12，解得a＝±6，
故所求的直线方程为eq \f(x,±6)＋eq \f(y,4)＝1，
即2x＋3y－12＝0或2x－3y＋12＝0.
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x,1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)，2)).
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴eq \f(x＋1,2)－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 ∵k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图像大致是( )
答案 C
解析 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错；
B中，由l1的图像可知，a<0，b>0，由l2的图像知b>0，a>0，两者矛盾，故B错；
C中，由l1的图像可知，a>0，b>0，由l2的图像可知，a>0，b>0，故正确；
D中，由l1的图像可知，a>0，b<0，由l2的图像可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错．
13．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A.eq \r(3)，1 B.eq \r(3)，－1
C．－eq \r(3)，1 D．－eq \r(3)，－1
答案 D
解析 原方程化为eq \f(x,\f(1,a))＋eq \f(y,\f(1,b))＝1，∴eq \f(1,b)＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)＝a，且eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°，∴a＝－eq \r(3)，故选D.
14．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，则m＝________.
答案 －eq \f(1,2)或2
解析 由题意知，2m2＋m－3≠0.
令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝eq \f(4m－1,2m2＋m－3)＝1，
解得m＝2或m＝－eq \f(1,2).
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________________．
答案 x＋4y－14＝0
解析 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为eq \f(y－3,4－3)＝eq \f(x－2,－2－2)，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围．
解 (1)依题意知，直线在两坐标轴上的截距都存在，
∴a＋1≠0，∴a≠－1，
令x＝0，y＝a－2，
令y＝0，x＝eq \f(a－2,a＋1)，
则a－2＝eq \f(a－2,a＋1)，
解得a＝2或a＝0.
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，
当a＝0时，直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
斜率k＝－(a＋1)，截距为a－2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1≤0，,a－2≤0，))解得－1≤a≤2，
所以实数m的取值范围为[－1,2]．名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
点P1(x1，y1)和斜率k
y－y1＝k(x－x1)
不垂直于x轴的直线
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不垂直于x轴的直线
两点式
点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
不垂直于x，y轴的直线
截距式
在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
一般式
两个独立的条件
Ax＋By＋C＝0
A，B不全为零