高考数学一轮复习第8章第1课时直线的方程学案

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第1课时 直线的方程
[考试要求]
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
1．直线的方向向量
(1)设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
(2)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为(1，k)．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2-y1x2-x1．
4．直线方程的五种形式
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
[常用结论]
1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
2．几种特殊位置的直线方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量n＝(－B，A)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )
(3)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示．( )
(4)直线y＝10的一个方向向量是(1，0).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为 (－1，－1)，则y＝( )
A．－32 B．32
C．－1 D．1
C [法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得AB＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为 (－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C.
法二：由直线的方向向量为(－1，－1)得，直线的斜率为-1-1＝1，所以y--34-2＝1，解得y＝－1.故选C.]
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]
3．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T2改编)已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.
－3 [因为A，B，C三点共线，
所以kAB＝kAC，所以7-54-3＝x-5-1-3，所以x＝－3.]
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.
9x－y＝0或x＋y－10＝0 [当纵、横截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为xa+ya＝1，则1a+9a＝1，解得a＝10，直线方程为x＋y－10＝0.]
考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例1] (1)如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，直线AC的斜率为33，则直线BC的斜率为( )
A．3 B．32
C．233 D．23
(2)(2022·辽宁沈阳五校联考)若直线l的一个方向向量a＝sinπ7，csπ7，则直线l的倾斜角θ＝________．
(3)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
(1)A (2)5π14 (3)(－∞，－3]∪[1，＋∞) [(1)由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝π2，BC＝3AB＝3CD，
∴tan ∠CBD＝33，∴∠CBD＝π6，∴直线BC的倾斜角为π3，故kBC＝tan π3＝3.故选A.
(2)∵直线l的一个方向向量a＝sinπ7，csπ7，
∴k＝csπ7sinπ7＝sinπ2-π7csπ2-π7＝sin5π14cs5π14＝tan 5π14，∴直线l的倾斜角θ＝5π14.
(3)如图，∵kAP＝1-02-1＝1，kBP＝3-00-1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．]
斜率取值范围的两种求法
提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分0，π2与π2，π两种情况讨论．
[跟进训练]
1．(1)(多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
A．k1B．k3C．α3<α2<α1
D．α1<α3<α2
(2)若直线l的斜率k∈[－1，1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________．
(1)AC (2)0，π4∪3π4，π [(1)如题图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，即k1＜k3＜k2，故π2>α2>α3>0，且α1为钝角，即α3＜α2＜α1，故选AC.
(2)当－1≤k＜0时，3π4≤θ＜π，
当0≤k≤1时，0≤θ≤π4.
因此θ的取值范围是0，π4∪3π4，π.]
考点二 直线方程的求法
[典例2] 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
[解] (1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，得BC的方程为y-13-1＝x-2-2-2，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝2-22＝0，y＝1+32＝2.
BC边的中线AD过A(－3，0)，D(0，2)两点，所在直线方程为x-3+y2＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0，2)．
所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
求直线方程的两种方法
直接法-根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论
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待定 系数法-即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程组，再求出参数，最后将其代入直线方程
[跟进训练]
2．(1)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________．
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________．
(1)2x＋3y－5＝0 (2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 [(1)联立x+y=2，2x-y=1，解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1)．
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－23.
则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
(2)由题意可设直线方程为xa+yb＝1.
则a+b=6，2a+1b=1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.]
考点三 直线方程的综合应用
[典例3] 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
[解] 法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A2-1k，0，B(0，1－2k)，S△AOB＝12(1－2k)·2-1k
＝124+-4k+-1k≥12×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.
法二：设直线l：xa+yb＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以2a+1b＝1，
则1＝2a+1b≥22ab，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为12×ab＝12×8＝4，
当且仅当2a＝1b＝12时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为x4+y2＝1，
即x＋2y－4＝0.
[拓展变式]
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解] 由本例法二知，2a+1b＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a+1b
＝3＋ab+2ba≥3＋22，
当且仅当a＝2＋2，b＝1＋2时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－2－2＝0.
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
[解] 法一：由本例法一知A2k-1k，0，B(0，1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝1k2+1·4+4k2
＝2×1+k2k＝2-k+1-k≥4.
当且仅当－k＝－1k，即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
法二：由本例法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a+1b＝1.所以|MA|·|MB|＝|MA|·|MB|＝－MA·MB
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1
＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a+1b－5＝2ba+ab≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平行)的直线系，即能够看出“动中有定”．
[跟进训练]
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解] (1)证明：法一：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令x+2=0，1-y=0，解得x=-2，y=1.
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线l恒过定点(－2，1)．
(2)法一：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－1+2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有-1+2kk≤-2，1+2k≥1，解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
法二：直线l方程可化为y＝kx＋1＋2k，
∴k＞0， 1+2k＞0，或k=0， 1+2k≥0，
∴k∈[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A-1+2kk，0，B(0，1＋2k)．
依题意得-1+2kk＜0，1+2k＞0，解得k＞0.
∵S＝12·|OA|·|OB|
＝12·1+2kk·|1＋2k|
＝12·1+2k2k＝124k+1k+4
≥12×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k，
即k＝12，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课时分层作业(四十五) 直线的方程
一、选择题
1．过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
A [由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.]
2．若某直线的斜率k∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A．0，π3 B．π3，π2
C．0，π3∪π2，π D．π3，π
C [∵直线的斜率k∈(－∞，3]，∴k≤tan π3，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是0，π3∪π2，π.故选C.]
3．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0 D．2x－y＋8＝0
C [由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为y-42-4＝x-23-2，整理得2x＋y－8＝0.]
4．在平面直角坐标系Oxy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若PA＝－2PB，则直线l的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0
A [设A(a，0)，B(0，b)，由PA＝－2PB，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，则a＝3，b＝32.由截距式可得直线l的方程为x3+y32＝1，即x＋2y－3＝0.]
5．(多选) (2023·浙江湖州模拟)已知直线l的一个方向向量为u＝1，k，则( )
A．k＝1时，直线l的斜率为1
B．k>0时，直线l的倾斜角范围为0，π2
C．对于任意的实数k，直线l都与直线y＝kx＋1平行
D．向量u可以是平面直角坐标系中任意一条直线的方向向量
AB [由直线的方向向量定义可知，当直线与x轴不垂直时，若直线l的一个方向向量为u＝1，k，则直线l的斜率为k，所以k＝1时，直线l的斜率为1，A正确；
k>0时，直线l的倾斜角范围为0，π2，B正确；
对于C，直线l有可能与y＝kx＋1重合，C错误；对于D，向量u不可以表示平面直角坐标系中斜率不存在的直线，D错误．故选AB.]
6．(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
ABC [当直线经过原点时，斜率为k＝2-01-0＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]
7．(多选)下列说法正确的是( )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1，1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
D．经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0
AB [选项A中，直线在x轴和y轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，所以A正确；选项B中，点0+12，2+12在直线y＝x＋1上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以B正确；选项C，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；选项D，还有一条横、纵截距都为0的直线y＝x满足条件，故D错误．]
8．(多选)已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
BD [根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，x sin α＋y cs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝121-sinα·1-csα＝1sin2α≥1，所以D正确．]
二、填空题
9．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．
(－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2).]
10．已知直线l经过点P(3, m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________.
2 43 [由直线l的方向向量为(2，4)得，直线l的斜率为42＝2，因此m--23-m＝2，解得m＝43.]
11．已知点M是直线l：y＝3x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
x＝－3或y＝33(x＋3) [在y＝3x＋3中，令y＝0，得x＝－3，即M(－3，0)．因为直线l的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－3；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y＝33(x＋3)．]
12．若直线l过点P(－3，2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．
-5，-13 [因为P(－3，2)，A(－2，－3)，B(3，0)，
则kPA＝-3-2-2--3＝－5，kPB＝0-23--3＝－13.
如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为-5，-13.]
13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
－3，13 [设正方形的对角线倾斜角为α，则tan α＝2，所以正方形的两个邻边的倾斜角为α＋π4，α－π4，tan α+π4＝tanα+tanπ41-tanαtanπ4＝2+11-2＝－3，tanα-π4＝tanα-tanπ41+tanαtanπ4＝2-11+2＝13，则正方形的两个邻边的斜率为－3，13.]
14．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值为________．
5 [由动直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，动直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定点B(1，3)．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为-1m·m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤PA2+PB22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
在高考中一般考查2道小题与1道解答题，分值占22分．
2．考查内容
(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．
(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力．
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
xa+yb＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
数形
结合法
作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数
图象法
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可