高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.1 坐标法优秀学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.1 坐标法优秀学案设计，共8页。学案主要包含了小试牛刀，情境导学等内容，欢迎下载使用。




1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系.


2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式.


3.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式.


4.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性.





重点：两点间的距离公式和中点坐标公式


难点：坐标法在解决几何问题中的运用





知识梳理


1.数轴


(1)数轴的定义


给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.


(2)数轴上的基本公式


如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)，则向量eq \(AB,\s\up7(→))的坐标为x2－x1，数轴上两点之间的距离公式|AB|＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|x2－x1|．


如果M(x)是线段AB的中点，则eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(MB,\s\up7(→))．数轴上的中点坐标公式x＝eq \f(x1＋x2,2)．


2.平面直角坐标系中的基本公式


(1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式:





二、小试牛刀


1.如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.( )


2．数轴上A,B,C的坐标分别为-6,4,2,则CA的坐标为 ,|BC|= ,|BC|= .


3.已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标.


4. P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?


5.若△ABC三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的





一、情境导学


给定一个平面，选定原点建立平面直角坐标系后，平面内点的位置可以用坐标来刻画。此时，平面内的直线是否可以通过直线上点的坐标来刻画？平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述？这些都是本章我们要探讨的问题，利用点的坐标来刻画几何对象，研究几何对象的性质以及探讨几何对象之间的关系，是解析几何的内容。


二、典例解析


例1 已知点A(a,3),B(3,3a+3)之间的距离为5,求a的值.





例2 已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为？








1.距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.


2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解.





例3 已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.








1.对于平面内中点坐标公式需要从以下两方面来认识


(1)从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量.


(2)从图像上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点.


2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是关键.


跟踪训练1 已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是( )


A.4B.13C.15D.17








例4 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|= 12|BC|.








变式： 本例中条件不变,试证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2.











建立平面直角坐标系的常见技巧


(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上.


(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴.


(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.


事实上,建立不同的平面直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.


金题典例 求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值.














1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是( )


A.C(-3)和D(-4) B.C(3)和D(4)


C.C(-4)和D(3) D.C(-4)和D(-3)


2.如图所示,AB是数轴上的一个向量,O是原点,则下列各式不成立的是( )





A.|OA|=|OA|B.|OB|=|OB|


C.|AB|=|OB|-|OA|D.|BA|=|OA|+|OB|


3.已知点A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC的形状是 ( )


A.等腰三角形B.直角三角形


C.等腰直角三角形D.等边三角形


4.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则△ABC重心G的坐标为 .


5.已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线的交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.


























参考答案：


知识梳理


1.答案:√


2．答案:-8 2 2


3.解:设点P(x,0),则|PA|=(x-4)2+(0-12)2 =13, 解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0).


4.解析:P(x,y)关于G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).


5. 答案:×


学习过程


例1 解:因为x1=a,y1=3,x2=3,y2=3a+3,


所以|AB|=(a-3)2+(3-3a-3)2 =(a-3)2+(3a)2 =5,


即(a-3)2+(3a)2=25,展开得a2-6a+9+9a2=25,


所以10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,


解得a=-1或a=85,因此a的值为-1或85.


例2 分析:由两点之间的距离公式可以表示出|AB|,而|AB|=5,可得关于a的方程,


解方程即可求出a的值.


解析:如图,作点(1,3)关于x轴的对称点A'(1,-3),


连接A'B交x轴于点P.可知|A'B|即为|AP|+|PB|的最小值,


而|A'B|=(5-1)2+(2+3)2 =41.


故|AP|+|PB|的最小值为41.


例3分析：由于AC,BC的中点的连线为△ABC中位线,应与底边AB平行.又因为边AB与x轴、y轴均不平行,所以两中点不会在同一条坐标轴上.根据坐标轴上点的坐标的特点即可求解.


解:设点C的坐标为(x,y),边AC的中点为D,BC的中点为E,


则DE =12AB.


因为AB与坐标轴不平行,所以D,E两点不可能都在x轴或y轴上.


线段AC的中点D的坐标为3+x2,7+y2,


线段BC的中点E的坐标为-2+x2,5+y2.


若点D在y轴上,则3+x2=0,即x=-3,此时点E的横坐标不为零,点E要在坐标轴上只能在x轴上,所以5+y2=0,即y=-5,所以C(-3,-5).


若点D在x轴上,则7+y2=0,即y=-7,此时点E的纵坐标不为零,点E只能在y轴上,所以-2+x2=0,即x=2,此时C(2,-7).


综上可知,符合题意的点C的坐标为(-3,-5)或(2,-7).


跟踪训练1 解析:因为C为AB的中点,


所以x-22=1,5-32=y,解得x=4,y=1.故P(4,1),|OP|=17.


答案:D


例4 证明:如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,


建立平面直角坐标系.


设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).


因为点M是BC的中点,所以点M的坐标为0+b2,c+02,即b2,c2.


由两点距离公式得


|BC|=(0-b)2+(c-0)2 =b2+c2 ,


|AM|=b2-02+c2-02 =12b2+c2 .


所以|AM|=12|BC|.





变式：





证明:如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.


设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得


|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,


|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,


|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2.


所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.


金题典例 错因分析没有验证等号是否成立,导致扩大了y的取值范围,实际上x是同步的,不能轻易分开.若分别讨论,必须验证等号成立的条件是否满足题意.


错解:因为x2+1≥1,所以x2+1≥1.


又因为x2-4x+8=(x-2)2+4≥4,


所以x2-4x+8≥2.


所以y=x2+1+x2-4x+8≥3.


所以函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值为3.


正解:因为y=x2+1+x2-4x+8=(x-0)2+(0-1)2 +(x-2)2+(0-2)2 ,


令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.


这样求函数的最小值问题,就转化为在x轴上求一点P,使得|PA|+|PB|取得最小值问题.


借助于光学的知识和对称的知识,如图所示,作出A关于x轴的对称点A'(0,-1),连接BA'交x轴于点P,可知|BA'|即为|PA|+|PB|的最小值





所以|BA'|=22+32 =13.


所以函数的最小值ymin=13.


达标检测


1.答案:C


2.答案:A


3. 解析:|AB|=(1-5)2+[1-(-1)]2 =25,


|AC|=(2-5)2+[3-(-1)]2 =5,|BC|=(1-2)2+(1-3)2 =5,


∴|AC|2=|AB|2+|BC|2,


∴△ABC为直角三角形. 答案:B


4. 解析:设G(x,y),则有x=2+(-2)+03=0,y=1+3-13=1. 答案:(0,1)


5.解:设C(x1,y1),D(x2,y2).


因为E为AC的中点,


所以-3=4+x12,4=2+y12,解得x1=-10,y1=6.


又因为E为BD的中点,


所以-3=5+x22,4=7+y22,解得x2=-11,y2=1.


所以C的坐标为(-10,6),D的坐标为(-11,1).