2021学年第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程第1课时导学案

这是一份2021学年第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.2 直线的方程第1课时导学案，共10页。学案主要包含了直线的方程的理解，直线的点斜式方程，直线的斜截式方程等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义．
导语
同学们，直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、直线、平面间的关系研究几何图形的性质，我们在平面直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，今天我们来探究直线的方程．
一、直线的方程的理解
问题1 已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一．
①已知l1的斜率不存在；②已知l1的斜率不存在且l1过点A(1,2)；③已知l2的斜率为2；
④已知l2的斜率为2且过点B(2,3)．
提示 显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④的直线是唯一的，我们只需找异于B点任意一点P(x，y)，有eq \f(y－3,x－2)＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都在方程y－3＝2(x－2)上，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上．
知识梳理
如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.
例1 下列各点在二元一次方程x＋2y－1＝0上的是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))
答案 A
解析 将选项A，B，C，D分别代入方程x＋2y－1＝0，检验只有A满足题意．
反思感悟 直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程．
跟踪训练1 已知点A(1，m)在二元一次方程x－y＋1＝0上，则实数m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 因为点A(1，m)在x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0⇒m＝2.
二、直线的点斜式方程
问题2 给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？
提示 y－y0＝k(x－x0)．
知识梳理
我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．
方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
例2 若直线l满足下列条件，求其直线方程．
(1)过点(－1,2)且斜率为3；
(2)过点(－1,2)且与x轴平行；
(3)过点(－1,2)且与x轴垂直；
(4)已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.
(5)过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1)．
解 (1)y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.
(2)y＝2.
(3)x＝－1.
(4)斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，AB的中点为(1,4)，
则该直线的点斜式方程为y－4＝eq \r(3)(x－1)，
即y＝eq \r(3)x－eq \r(3)＋4.
(5)直线的方向向量为a＝(2，－1)，
∴k＝eq \f(－1,2)＝－eq \f(1,2)，
故直线的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x＋1)，
即y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2).
反思感悟 (1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．
(2)当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y＝y0.
(3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x＝x0.
跟踪训练2 求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(3)过点P(4，－2)，倾斜角为150°.
解 (1)∵直线y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率为eq \f(\r(3),3)，
∴直线y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角为30°.
∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为eq \r(3).
∴所求直线方程为y＋3＝eq \r(3)(x－2)，
即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.
(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
(3)∵α＝150°，∴k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，
∴直线的点斜式方程为y＋2＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)，
即eq \r(3)x＋3y＋6－4eq \r(3)＝0.
三、直线的斜截式方程
问题3 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．
提示 y＝kx＋b.
知识梳理
1．直线的截距
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．
2．把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式．
注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．
(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．
例3 (1)(多选)下列四个选项中，正确的是( )
A．任何一条直线在y轴上都有截距
B．直线在y轴的截距一定是正数
C．直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线
D．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1
答案 CD
解析 平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确．直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确．直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确．
(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程．
①斜率为2，在y轴上的截距是5；
②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ①由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
②∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
由斜截式可得直线方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
③∵直线的倾斜角为60°，
∴斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
反思感悟 (1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解．
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．
跟踪训练3 (1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为________________，在y轴上的截距为________．
答案 y＝－2x＋4 4
解析 y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.
(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________．
答案 y＝－2x＋6
解析 l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，
故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.
1.知识清单：
(1)直线的方程与方程的直线．
(2)直线的点斜式方程．
(3)直线的斜截式方程．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线．
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为eq \r(3)，则此直线方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋eq \r(3) B．y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)
C．y＝－eq \r(3)x－eq \r(3) D．y＝eq \r(3)x－eq \r(3)
答案 A
解析 直线的倾斜角为60°，则其斜率为eq \r(3)，利用斜截式直接写方程．
3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析 如图，∵直线经过第一、三、四象限，∴k>0，b<0.
4．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的点斜式方程为____________．
答案 y－1＝eq \f(1,2)(x－2)
解析 由x－4y＋3＝0，
得y＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)，其斜率为eq \f(1,4)，
故所求直线l的斜率为eq \f(1,2)，
又直线l过点P(2,1)，
所以直线l的点斜式方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－2)．
课时对点练
1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为( )
A．x＝3 B．x＝－2
C．y＝3 D．y＝－2
答案 D
解析 ∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，
∴直线的方程为y＝－2.
2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )
A．y－1＝x B．y＋1＝x
C．y－1＝－x D．y＋1＝－x
答案 B
解析 ∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，
又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.
3．直线y－2＝－eq \r(3)(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A．60°，2 B．120°，2－eq \r(3)
C．60°，2－eq \r(3) D．120°，2
答案 B
解析 该直线的斜率为－eq \r(3)，当x＝0时，y＝2－eq \r(3)，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－eq \r(3).
4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为( )
A．(3,1) B．(2,3) C．(2，－3) D．(－2,3)
答案 B
解析 直线方程为y＝k(x－2)＋3，
可化为y－3＝k(x－2)，所以过定点(2,3)．
5．(多选)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程为( )
A．y＝eq \r(3)x－6 B．y＝eq \f(\r(6),3)x－6
C．y＝－eq \r(3)x－6 D．y＝－eq \f(\r(3),3)x－6
答案 AC
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为eq \r(3)或－eq \r(3)，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为y＝eq \r(3)x－6或y＝－eq \r(3)x－6.
6．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝x－1
C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1
答案 BC
解析 由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.
7．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
8．设直线l的倾斜角是直线y＝eq \r(3)x＋1的倾斜角的eq \f(1,2)，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的斜率为________，直线l的方程是____________________．
答案 eq \f(\r(3),3) y＝eq \f(\r(3),3)x±3
解析 y＝eq \r(3)x＋1的倾斜角为60°，则l的倾斜角为30°，故斜率为tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
由题意知，l在y轴上的截距为±3，
∴直线l的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x±3.
9．求倾斜角为直线y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
解 由直线y＝－eq \r(3)x＋1的斜率为－eq \r(3)，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k＝eq \r(3).
(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝eq \r(3)(x＋4)，
即y＝eq \r(3)x＋4eq \r(3)＋1.
(2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝eq \r(3)x－10.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过定点A(－2,0)；
(2)斜率为eq \f(1,6).
解 依题意直线l的斜率存在且不为0.
(1)设直线l的方程为y＝k(x＋2)
令x＝0，y＝2k，
令y＝0，x＝－2，
∴S＝eq \f(1,2)|－2|·|2k|＝3，
解得k＝±eq \f(3,2).
∴直线l的方程为y＝eq \f(3,2)(x＋2)或y＝－eq \f(3,2)(x＋2)．
(2)设直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，
令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－6b，
∴S＝eq \f(1,2)|－6b|·|b|＝3，
解得b＝±1.
∴直线l的方程为y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1.
11．一条直线过点(－2,3)且直线的一个法向量为v＝(2,3)，则该直线的方程为( )
A．y＝eq \f(2,3)x＋eq \f(13,3) B．y＝eq \f(3,2)x＋6
C．y＝－eq \f(3,2)x D．y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3)
答案 D
解析 直线的一个法向量v＝(2,3)，
则该直线的一个方向向量为a＝(3，－2)，
故k＝－eq \f(2,3)，
又直线过点(－2,3)，
所以直线方程为y－3＝－eq \f(2,3)(x＋2)，
即y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3)，故选D.
12．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
答案 C
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．
13．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么( )
A．kb<0 B．kb≤0
C．kb>0 D．kb≥0
答案 B
解析 直线l不经过第三象限，则k≤0且b>0，
即kb≤0.
14．将直线y＝x＋eq \r(3)－1绕其上面一点(1，eq \r(3))沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是______________．
答案 y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)
解析 由y＝x＋eq \r(3)－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
∴所求直线的斜率为eq \r(3).
又∵直线过点(1，eq \r(3))，
∴由直线的点斜式方程可得y－eq \r(3)＝eq \r(3)(x－1)．
15．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
解析 由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示．
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
因为kPA＝eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq \f(－1－1,－2－2)＝eq \f(1,2)，
所以－2≤k≤eq \f(1,2).
16．直线l的方程为y＝ax＋eq \f(3－a,5)，
(1)证明：直线l恒经过第一象限；
(2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明 直线l：y＝ax＋eq \f(3－a,5)，
可化为y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,5)))，
所以直线l过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))，
又点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限，
故直线l恒经过第一象限．
(2)解 因为直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(3,5)))且点P在第一象限，
故只需l在y轴上的截距大于0即可，
即eq \f(3－a,5)>0得a<3.
故a的取值范围是(－∞，3)．