- 2.2.2 直线的方程(第2课时)导学案 学案 2 次下载
- 2.2.3 两条直线的位置关系 导学案 学案 2 次下载
- 2.3.3 直线与圆的位置关系(1) 导学案 学案 1 次下载
- 2.3.4 圆与圆的位置关系 导学案 学案 1 次下载
- 2.3.1 圆的标准方程 导学案 学案 3 次下载
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离优质学案设计
展开1.会用向量工具推导点到直线的距离公式
2.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式.
3.能应用两个距离公式解决有关距离问题.
4.不断体会教材中构造出(x1-x0)2+(y1-y0)2=(Ax0+By0+C)2A2+B2的绝妙思路.
重点:点到直线的距离公式的运用
难点:点到直线的距离公式的推导
知识梳理
1.点到直线的距离
(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.
(2)图示:
(3)公式:d=|Ax0+By0+C|A2+B2.
点睛: (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化
成一般式再用公式.
(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.
2.两条平行直线之间的距离
(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)图示:
(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.
(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-C2|A2+B2 .
点睛: (1)把直线方程化为直线的一般式方程;
(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.
二、小试牛刀
1.判断:
点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2. ( )
2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )
A.12 B.32 C.322 D.22
3.你能说出代数式|3a+b+1|2的几何意义吗?
4.判断
(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.( )
(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
5.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为25,则C的值为( )
A.9 B.11或-9 C.-11 D.9或-11
一、问题探究
我们知道,平面内点到直线的距离,等于过这个点做直线的垂线所得垂线段的程度。那么,如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程,能不能快速的求出点到直线的距离呢?
你能想办法求出P(-1,2)到直线l1:2x+y-5=0的距离吗?用你的方法能得出一般的结论吗?
思考:最容易想到的方法是什么?
思路1. 定义法,其步骤为:
求l 的垂线l PQ的方程-----解方程组,得交点Q的坐标-----求|P Q|的长
反思:这种解法的优缺点是什么?
思路2.我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离?
如图,点P到直线l的距离,就是向量PQ的模,设M(x,y)是直线l上的任意一点, n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,则PQ是PM在上n的投影向量, PQ=PM∙n。
思考:如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n ?
设P1x1,y1,P2(x2,y2) 直线l:Ax+By+C=0 上的任意两点,则P1P2=(x2-x1,y2-y1)是直线l的方向向量。把Ax1+By1+C=0, Ax2+By2+C=0 两式相减,得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0 ,由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直,向量 1A2+B2 (A,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量,我们取n=1A2+B2 (A,B),
从而PM∙n=(x-x0,y -y0) 1A2+B2 (A,B)=1A2+B2 (Ax+By-Ax0-By0)
因为点M(x,y)在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式,
得PM∙n=1A2+B2 (-Ax0-By0-C)
因此PQ=PM∙n=Ax0+By0+CA2+B2
思考:比较上述两种方法,第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然;第二种方法利用向量投影,通过向量运算求出结果,简化了运算,除了上述两种方法,你还有其他推导方法吗?
典例解析
例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.
y=43x+13;②3y=4;③x=3.
(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
变式 若将本例(2)改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为 .
1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.
2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.
例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为 .
(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为 .
(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为 .
求两条平行直线之间的距离,
一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=|b1-b2|k2+1;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d=|C1-C2|A2+B2 .
但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.
跟踪训练(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为( )
A.145353B.25353
C.65353D.85353
(2)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )
A.1B.2C.12D.4
(3)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是 .
金题典例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.
1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )
A.2B.22C.3D.2
2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为( )
A.1B.2C.3D.2
3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )
A.79B.-13 C.-79或-13D.-79或13
4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 .
5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为 ,它们之间的距离为 .
6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
参考答案:
知识梳理
1.答案:×
2.解析:由点到直线的距离公式可得|1-(-1)+1|2=322. 答案:C
3.提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线3x+y+1=0的距离.
4.判断答案:(1)× (2)√
5.解析:两平行线间的距离为d=|-1-(-C)|12+(-2)2=25,解得C=-9或11.
答案:B
学习过程
例1(1)解:①y=43x+13可化为4x-3y+1=0,
则点P(2,-3)到该直线的距离为
|4×2-3×(-3)+1|42+(-3)2=185.
②3y=4可化为3y-4=0,
则点P(2,-3)到该直线的距离为|-3×3-4|02+32=133.
③x=3可化为x-3=0,
则点P(2,-3)到该直线的距离为|2-3|1=1.
(2)解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,
恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,
故x=-1满足题意;
当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,
设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,
由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得
即x+3y-5=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,
此时l的方程为y-2=-13(x+1),
(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.
当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
直线l的斜率为kl,则kAB=kl=5-3-4-2=-13,
此时直线l的方程为y-2=-13(x+1),
变式 解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,
也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.
答案:x+3y-5=0
例2解析:(1)l2:6x+10y+5=0可以化为3x+5y+52=0,∴l1与l2间的距离d=52-132+52=3234=33468.
(2)由题意,得63=m1,∴m=2,
将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式,得|-1+6|62+22=540=104.
(3)设直线l的方程为2x-y+C=0,
由题意,得|3-C|22+12=|C+1|22+12,解得C=1,
∴直线l的方程为2x-y+1=0.
答案:(1)33468 (2)104 (3)2x-y+1=0
跟踪训练解析:(1)直接利用平行线之间距离公式,d=|8-(-6)|22+72=145353.
(2)由两条直线平行可得-34=-6m,解得m=8.
由两条平行线间的距离公式得d=|-3-7|32+42=2.
(3)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,
两条平行直线间的距离最大.
因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB=-1-10-1=2,
所以两条平行直线的斜率为-12,所以直线l1的方程为y-1=-12(x-1),
即x+2y-3=0.
答案:(1)A (2)B (3)x+2y-3=0
金题典例 错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),
所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.
所以15k+8=0.所以k=-815.
故直线l的方程为-815x-y+3×-815+5=0,
整理,得kx-y+3k+5=0.
错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设
为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.
正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.
即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.
所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.
所以15k+8=0.所以k=-815.
故所求直线方程为y-5=-815(x+3),
防范措施:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.
达标检测
1.解析:d=|-1-1|1+0=2,故选D.
答案:D
2.解析:d=|1-(-1)|12+12=2.
答案:B
3.解析:由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,化简得|3a+3|=|6a+4|,
解得实数a=-79或-13.故选C.
答案:C
4.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,
设垂足为M,则|MP|最小,
直线MP的方程为y-1=-43(x-2),
解方程组3x-4y-27=0,y-1=-43(x-2),得x=5,y=-3,
∴所求点的坐标为(5,-3).
答案:(5,-3)
5.解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.
∴m=-1.
直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0
分别化为x-y+6=0,x-y+23=0.
∴它们之间的距离为6-232=823.
答案:-1 823
6.解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.
又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,解得k=0或k=1.
(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,
∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.
人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计: 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计,共2页。
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