高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离优质学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离优质学案设计，共12页。学案主要包含了小试牛刀，问题探究等内容，欢迎下载使用。




1.会用向量工具推导点到直线的距离公式


2.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式.


3.能应用两个距离公式解决有关距离问题.


4.不断体会教材中构造出(x1-x0)2+(y1-y0)2=(Ax0+By0+C)2A2+B2的绝妙思路.





重点：点到直线的距离公式的运用


难点：点到直线的距离公式的推导





知识梳理


1.点到直线的距离


(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.


(2)图示:








(3)公式:d=|Ax0+By0+C|A2+B2.


点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化


成一般式再用公式.


(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.


2.两条平行直线之间的距离


(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.


(2)图示:


(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.


(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-C2|A2+B2 .





点睛： (1)把直线方程化为直线的一般式方程;


(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.


二、小试牛刀


1.判断:


点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2. ( )


2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )


A.12 B.32 C.322 D.22


3.你能说出代数式|3a+b+1|2的几何意义吗?


4.判断


(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.( )


(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )


5.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为25,则C的值为( )


A.9 B.11或-9 C.-11 D.9或-11








一、问题探究


我们知道，平面内点到直线的距离，等于过这个点做直线的垂线所得垂线段的程度。那么，如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，能不能快速的求出点到直线的距离呢？





你能想办法求出P（-1,2）到直线l1：2x+y-5=0的距离吗？用你的方法能得出一般的结论吗？








思考：最容易想到的方法是什么？


思路1. 定义法,其步骤为：


求l 的垂线l PQ的方程-----解方程组，得交点Q的坐标-----求|P Q|的长





反思：这种解法的优缺点是什么？


思路2.我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？


如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模，设M(x,y)是直线l上的任意一点， n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在上n的投影向量, PQ=PM∙n。


思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n ？





设P1x1,y1,P2（x2,y2） 直线l：Ax+By+C=0 上的任意两点，则P1P2=(x2-x1,y2-y1)是直线l的方向向量。把Ax1+By1+C=0, Ax2+By2+C=0 两式相减，得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0 ，由平面向量的数量积运算可知，向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直，向量 1A2+B2 (A,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=1A2+B2 (A,B)，


从而PM∙n=(x-x0,y -y0) 1A2+B2 (A,B)=1A2+B2 (Ax+By-Ax0-By0)


因为点M(x,y)在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式，


得PM∙n=1A2+B2 (-Ax0-By0-C)


因此PQ=PM∙n=Ax0+By0+CA2+B2


思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？


典例解析


例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.


y=43x+13;②3y=4;③x=3.














(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.











变式 若将本例(2)改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为 .











1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题


(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.


(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.


(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.


2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.


例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为 .


(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为 .


(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为 .














求两条平行直线之间的距离,


一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=|b1-b2|k2+1;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d=|C1-C2|A2+B2 .


但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.


跟踪训练(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为( )


A.145353B.25353


C.65353D.85353


(2)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )


A.1B.2C.12D.4


(3)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是 .











金题典例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.

















1.点(1,-1)到直线y=1的距离是( )


A.2B.22C.3D.2


2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为( )


A.1B.2C.3D.2


3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )


A.79B.-13 C.-79或-13D.-79或13


4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 .


5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为 ,它们之间的距离为 .


6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.

















参考答案：


知识梳理


1.答案:×


2.解析:由点到直线的距离公式可得|1-(-1)+1|2=322. 答案:C


3.提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线3x+y+1=0的距离.


4.判断答案:(1)× (2)√


5.解析:两平行线间的距离为d=|-1-(-C)|12+(-2)2=25,解得C=-9或11.


答案:B


学习过程


例1(1)解:①y=43x+13可化为4x-3y+1=0,


则点P(2,-3)到该直线的距离为


|4×2-3×(-3)+1|42+(-3)2=185.


②3y=4可化为3y-4=0,


则点P(2,-3)到该直线的距离为|-3×3-4|02+32=133.


③x=3可化为x-3=0,


则点P(2,-3)到该直线的距离为|2-3|1=1.


(2)解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,


恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,


故x=-1满足题意;


当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,


设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,


由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得


即x+3y-5=0.


综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.


|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,


此时l的方程为y-2=-13(x+1),


(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.


当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,


即x+3y-5=0.


当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.


综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.


直线l的斜率为kl,则kAB=kl=5-3-4-2=-13,


此时直线l的方程为y-2=-13(x+1),


变式 解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,


也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.


答案:x+3y-5=0


例2解析:(1)l2:6x+10y+5=0可以化为3x+5y+52=0,∴l1与l2间的距离d=52-132+52=3234=33468.


(2)由题意,得63=m1,∴m=2,


将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式,得|-1+6|62+22=540=104.


(3)设直线l的方程为2x-y+C=0,


由题意,得|3-C|22+12=|C+1|22+12,解得C=1,


∴直线l的方程为2x-y+1=0.


答案:(1)33468 (2)104 (3)2x-y+1=0


跟踪训练解析:(1)直接利用平行线之间距离公式,d=|8-(-6)|22+72=145353.


(2)由两条直线平行可得-34=-6m,解得m=8.


由两条平行线间的距离公式得d=|-3-7|32+42=2.


(3)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,


两条平行直线间的距离最大.


因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB=-1-10-1=2,


所以两条平行直线的斜率为-12,所以直线l1的方程为y-1=-12(x-1),


即x+2y-3=0.


答案:(1)A (2)B (3)x+2y-3=0


金题典例 错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),


所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.


所以15k+8=0.所以k=-815.


故直线l的方程为-815x-y+3×-815+5=0,


整理,得kx-y+3k+5=0.


错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设


为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.


正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.


即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.





所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.


所以15k+8=0.所以k=-815.


故所求直线方程为y-5=-815(x+3),


防范措施：在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.





达标检测


1.解析:d=|-1-1|1+0=2,故选D.


答案:D


2.解析:d=|1-(-1)|12+12=2.


答案:B


3.解析:由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,化简得|3a+3|=|6a+4|,


解得实数a=-79或-13.故选C.


答案:C


4.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,


设垂足为M,则|MP|最小,


直线MP的方程为y-1=-43(x-2),


解方程组3x-4y-27=0,y-1=-43(x-2),得x=5,y=-3,


∴所求点的坐标为(5,-3).


答案:(5,-3)


5.解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.


∴m=-1.


直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0


分别化为x-y+6=0,x-y+23=0.


∴它们之间的距离为6-232=823.


答案:-1 823


6.解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.


又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.


由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,


∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.


得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,解得k=0或k=1.


(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.


∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),


∴直线l的方程是x-y+2=0.


当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.


∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,


∴直线l的方程为y=2.


综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.