高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第2课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第2课时学案设计，共11页。学案主要包含了直线的两点式方程，直线的截距式方程等内容，欢迎下载使用。

导语
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．怎样表示直线的方程呢？
一、直线的两点式方程
问题1 我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
提示 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1).
知识梳理
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，我们把它称为直线的两点式方程，简称两点式．
注意点：(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
例1 在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)．
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得eq \f(y－－4,－2－－4)＝eq \f(x－5,0－5)，
即y＝－eq \f(2,5)x－2，
故BC边的方程是y＝－eq \f(2,5)x－2(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(－4＋－2,2)＝－3，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3)).
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－－3,\f(5,2)－－3)，
即y＝－eq \f(10,11)x－eq \f(8,11)，
所以BC边上的中线所在直线的方程是y＝－eq \f(10,11)x－eq \f(8,11).
反思感悟 利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以eq \f(y－1,－3－1)＝eq \f(x－－2,3－－2)，即eq \f(y－1,－4)＝eq \f(x＋2,5)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
提示 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1.
知识梳理
我们把方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
注意点：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(4)过原点的直线的横、纵截距都为零．
例2 求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l过点A(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
又l过点A(－3，－4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(－4,－a)＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－1)＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，
解得k＝eq \f(4,3).
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解 (1)当截距不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l过点(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
跟踪训练2 (1)已知直线eq \f(2x,7)＋eq \f(y,7)＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为( )
A.eq \f(2,7)，eq \f(1,7) B．－eq \f(2,7)，－eq \f(1,7)
C.eq \f(7,2)，7 D．－eq \f(7,2)，－7
答案 D
解析 eq \f(2x,7)＋eq \f(y,7)＝－1可化为eq \f(x,－\f(7,2))＋eq \f(y,－7)＝1，
所以直线在x，y轴上的截距分别为－eq \f(7,2)，－7，
故a＝－eq \f(7,2)，b＝－7.
(2)已知线段BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2))).若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的方程为________________．
答案 y＝－eq \f(1,2)x＋3或y＝－x＋eq \f(9,2)
解析 依题意知，直线BC在坐标轴上的截距存在，且都不为0，
故设BC的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,9－a)＝1，
代入点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)))有eq \f(3,a)＋eq \f(\f(3,2),9－a)＝1，
整理得2a2－21a＋54＝0，
解得a＝6或eq \f(9,2).
a＝6时，BC方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1，即y＝－eq \f(1,2)x＋3，
a＝eq \f(9,2)时，BC方程为eq \f(x,\f(9,2))＋eq \f(y,\f(9,2))＝1，即y＝－x＋eq \f(9,2)，
所以BC所在的直线方程为
y＝－eq \f(1,2)x＋3或y＝－x＋eq \f(9,2).
1.知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论．
3．常见误区：直线过原点时，直线在坐标轴上的截距都为0,0与0既相等、相反，也是倍数关系．
1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1
C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1
答案 A
2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
A.eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B.eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1)
C.eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－3,2－3) D.eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,1－3)
答案 B
解析 ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
∴所求直线方程是eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1).
3．直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 B
4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
课时对点练
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入两点式得直线方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x＋2,1＋2)，
整理得y＝x＋3.
2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案 A
解析 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为eq \f(x,\f(2,a))＋eq \f(y,2)＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴eq \f(2,a)＝2，解得a＝1.
3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．y＝－2x＋8 B．y＝2x＋8
C．y＝－2x－12 D．y＝2x－12
答案 A
解析 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为eq \f(y－4,2－4)＝eq \f(x－2,3－2)，即y＝－2x＋8.
4．若直线l过点(－1，－1)和 (2,5)，且点(1 010，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2 021 B．2 020 C．2 019 D．2 018
答案 A
解析 直线l的两点式方程为eq \f(y－－1,5－－1)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即eq \f(y＋1,6)＝eq \f(x＋1,3)，
即y＝2x＋1，代入点(1 010，b)，
得b＝2×1 010＋1＝2 021.故选A.
5．(多选)下列说法不正确的是( )
A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
答案 ABD
解析 当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．
6．(多选)已知直线l：y＝－ax＋2＋a在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1 B．－1 C．－2 D．2
答案 AC
解析 直线在x，y轴上截距相等，设直线的斜率存在，
∴－a≠0，∴a≠0，
令x＝0，y＝2＋a，
令y＝0，x＝eq \f(a＋2,a)，
∴eq \f(a＋2,a)＝a＋2，
解得a＝－2或a＝1.
7．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．
答案 y＝－3x＋6
解析 由题意知直线过点(2,0)，
又直线过点(1,3)，由两点式可得，eq \f(y－0,3－0)＝eq \f(x－2,1－2)，
整理得y＝－3x＋6.
8．若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________________．
答案 y＝－eq \f(2,3)x＋2或y＝－eq \f(1,2)x＋1
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0且a≠－1)，则在x轴上的截距为a＋1，则l的方程为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，将点A(6，－2)代入得eq \f(6,a＋1)－eq \f(2,a)＝1，即a2－3a＋2＝0，
∴a＝2或a＝1，∴直线l的方程为y＝－eq \f(2,3)x＋2或y＝－eq \f(1,2)x＋1.
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程．
解 (1)由截距式，得边AC所在直线的方程为
eq \f(x,－8)＋eq \f(y,4)＝1，即y＝eq \f(1,2)x＋4.
由两点式，得边AB所在直线的方程为eq \f(y－4,6－4)＝eq \f(x－0,－2－0)，
即y＝－x＋4.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
由两点式，得边BD所在直线的方程为eq \f(y－2,6－2)＝eq \f(x－－4,－2－－4)，
即y＝2x＋10.
10．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解 (1)设M(0，m)，N(n,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xC＋xA＝2xM，,yC＋yA＝2yM，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xC＋xB＝2xN，,yC＋yB＝2yN，))
所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3，
所以点C的坐标为(－5，－3)．
(2)因为2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5，
故m＝－eq \f(5,2).
因为2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1.
所以直线MN的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－\f(5,2))＝1，
即y＝eq \f(5,2)x－eq \f(5,2).
11．直线l过点(1,2)且在y轴上的距离是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为( )
A．y＝2x
B．y＝－2x＋4
C．y＝2x或y＝－2x＋4
D．y＝2x或y＝2x－2
答案 C
解析 (1)当直线l过原点时，kl＝eq \f(2,1)＝1，
∴直线l的方程为y＝2x.
(2)当直线l不过原点时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1(a≠0)，
代入点(1,2)得eq \f(1,a)＋eq \f(2,2a)＝1，解得a＝2.
故直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,4)＝1，
即y＝－2x＋4.
12．若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l的截距式方程为eq \f(x,－a)＋eq \f(y,－b)＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
13．直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )
答案 B
解析 易知直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1的斜率为eq \f(n,m)，直线eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1的斜率为eq \f(m,n)，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足．
14．已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________________．
答案 3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析 若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l的方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，把(2,3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，
则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)
＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.
16．已知直线l在x，y轴上的截距之和为4.
(1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；
(2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．
解 依题意直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，
设直线l的方程为eq \f(x,m)＋eq \f(y,4－m)＝1(m≠0，m≠4)．
(1)由直线方程可知，直线过点(m,0)，(0,4－m)，
∴kl＝eq \f(4－m,－m)＝eq \f(m－4,m)＝2，
解得m＝－4.
(2)依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,4－m>0，))解得0又A(m,0)，B(0,4－m)，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|m|·|4－m|
＝eq \f(1,2)m·(4－m)
＝eq \f(1,2)(－m2＋4m)
＝－eq \f(1,2)(m－2)2＋2，
∴当m＝2时，(S△AOB)最大＝2，
此时直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＝1，
即y＝－x＋2.