数学选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程当堂达标检测题

课时跟踪检测（十四）  直线的两点式和一般式方程

[A级　基础巩固]

1．在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是(　　)

A．＋＝1　　　　  B．＋＝1

C．＋＝1     D．＋＝1

解析：选C　由直线的截距式方程可得＋＝1.

2．(多选)下列命题中不正确的是(　　)

A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示

B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示

C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示

D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示

解析：选ABD　A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程＋＝1表示．只有C正确．故选A、B、D.

3．两条直线－＝1与－＝1的图像可能是下图中的(　　)

解析：选B　两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同．

4．(多选)如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0经过(　　)

A．第一象限     B．第二象限

C．第三象限     D．第四象限

解析：选ABC　直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距为－＝－<0，在y轴上的截距为－>0，

如图所示，由图像可知，直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限．故选A、B、C.

5．若直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为(　　)

A．x＋3y－9＝0

B．4x＋y＋16＝0

C．x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0

D．x－3y－9＝0

解析：选C　由题意可设直线l的方程为＋＝1(a≠0，b≠0)，则a＋b＝12. ①

又直线l过点(－3，4)，所以＋＝1. ②

由①②解得或

故直线l的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.

6．如果直线l过点P(1，3)，且直线l的法向量为a＝(－3，1)，则直线l的方程为________．

解析：因直线l的法向量为a＝(－3，1)，直线l的方程为－3x＋y＋c＝0，

又因点P(1，3)在直线l上，则c＝0.

答案：3x－y＝0

7．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________________．

解析：由直线点斜式方程可得

y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

8．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________．

解析：直线方程可化为＋＝1，

∴－×4＝3，解得m＝－.

答案：－

9．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0).求：

(1)边AC和AB所在直线的方程；

(2)AC边上的中线BD所在直线的方程．

解：(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.

由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，

即x＋y－4＝0.

(2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)，

由两点式，得BD所在直线的方程为＝，

即2x－y＋10＝0.

10．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：

(1)直线l的斜率为－1；

(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.

解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.

(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.

[B级　综合运用]

11．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l恒过定点(0，1)

B．当m＝0时，直线l的斜率不存在

C．当m＝1时，直线l的倾斜角为

D．当m＝2时，直线在y轴上的截距为－1

解析：选CD　直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，－1)，选项A错误；当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，直线在y轴上的截距为－1，D正确，故选C、D.

12．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．

解析：当2m2＋m－3＝0时，m＝1或m＝－；当m2－m＝0时，m＝0或m＝1.要使方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则2m2＋m－3，m2－m不能同时为0，∴m≠1.

答案：m≠1

13．已知直线x＋2y＝2分别与x轴，y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．

解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.

答案：

14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

解：如图，由直线l的方程可得A，B(0，1＋2k)，

依题意得解得k＞0.

∴S＝|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4.

等号成立的条件是k＞0且4k＝即k＝.

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

[C级　拓展探究]

15．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？

解：如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立平面直角坐标系，

则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300，700)，设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.

令y＝0得x＝90，得点P(90，0)，

故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．