人教B版 (2019)2.2.2 直线的方程第二课时学案设计

第二课时　直线的两点式和一般式方程

上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上．

[问题]　老师如此做的依据是什么？

知识点一　直线的两点式与截距式方程

利用两点式求直线方程必须满足什么条件？

提示：x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　　)

(2)直线方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)和方程＝是相同的．(　　)

(3)截距式方程是两点式方程的特殊形式．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．直线x－2y＝4的截距式方程是____________．

解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．

答案：＋＝1

3．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线方程为____________．

解析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.

答案：x＋5y－27＝0

知识点二　直线的一般式方程

1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式．

2．系数的几何意义

(1)当B≠0时，直线斜率k＝－，在y轴上的截距b＝－；

(2)当B＝0，A≠0直线斜率不存在，直线过点；

(3)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量．

1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

提示：都可以．

2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？

提示：都能表示一条直线．

3．直线与二元一次方程有怎样的关系？

提示：(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．

(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．

直线x－y＋1＝0的倾斜角为(　　)

A．30°　　　　　　　  B．60°

C．120°     D．150°

解析：选A　由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30°.

[例1]　(链接教科书第82页例3)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程．

[解]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

∴由两点式得＝，

即2x＋5y＋10＝0.

故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).

(2)设BC的中点为M(x0，y0)，

则x0＝＝，y0＝＝－3.

∴M，

又BC边上的中线经过点A(－3，2).

∴由两点式得＝，

即10x＋11y＋8＝0.

故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.

求直线的两点式方程的策略及注意点

(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；

(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．

[跟踪训练]

已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．

解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．

①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；

②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.

综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；

当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.

[例2]　(链接教科书第82页例4)求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．

[解]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；

②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，

可设方程为＋＝1，即x－y＝a，

又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，

∴l的方程为x－y－3＝0，

综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.

法二：由题意知直线的斜率一定存在．

设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，

x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.

根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.

当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y

＝0；

当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3

＝0.

[母题探究]

(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？

解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.

②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，

又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.

∴l的方程为x＋2y－9＝0.

截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可；

(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；

(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．

[跟踪训练]

1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)

A．1　　　　　　　　　  B．－1

C．7     D．－7

解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.

2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．

解：设直线方程的截距式为＋＝1.

则＋＝1，解得a＝2或a＝1，

则直线方程是＋＝1或＋＝1，

即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.

[例3]　(链接教科书第83页例5、第84页例6)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率是且经过点A(5，3)；

(2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；

(3)经过点A(3，1)，v＝(3，－2)是直线的一个法向量．

[解]　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，

整理得x－y＋3－5＝0.

(2)由两点式方程得＝，

整理得2x＋y－3＝0.

(3)法一：因为v＝(3，－2)是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－2y＋C＝0，代入点A(3，1)，可求得C＝－7，因此所求方程为3x－2y－7＝0.

法二：设P(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v＝(3，－2)垂直．又因为＝(x－3，y－1)，所以3×(x－3)＋(－2)×(y－1)＝0，

整理可得一般式方程为3x－2y－7＝0.

求直线一般式方程的策略

(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；

(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．　　　

[跟踪训练]

1．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为____________，截距式方程为____________，斜截式方程为____________，一般式方程为____________．

解析：点斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.

答案：y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0

2．直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为________．

解析：令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，

∴＝3，∴m＝－6.

答案：－6

1．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)

A．2x＋y－8＝0     B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0     D．2x－y－12＝0

解析：选A　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.

2．直线＋＝1过第一、三、四象限，则(　　)

A．a>0，b>0     B．a>0，b<0

C．a<0，b>0     D．a<0，b<0

解析：选B　因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.

3．如果直线l过点P(－1，－2)，且直线l的方向向量为a＝(1，－2)，求直线l的方程．

解：直线l的方向向量a＝(1，－2)，则法向量v＝(2，1)，可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0，代入点P(－1，－2)，得C＝4，因此所求直线方程为2x＋y＋4＝0.