数学5.4 二次函数与一元二次方程优秀巩固练习

这是一份数学5.4 二次函数与一元二次方程优秀巩固练习，共14页。试卷主要包含了6＜x1＜1，0，2，01和0，18＜x＜6，75等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（ ）


A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1


2．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）


A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5


3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：


①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；


③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．


其中，正确结论的个数为（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


4．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（ ）


A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4


5．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：


则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（ ）


A．1.2＜x＜1.3B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5D．1.5＜x＜1.6


6．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（ ）


A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8


C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是2


7．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）





A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4


8．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）


A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2


C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1


9．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）





A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜8


10．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）





A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9


11．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：


①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（ ）





A．4个B．3个C．2个D．1个


二．填空题


12．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ．


13．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝ ．


14．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．


15．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．


16．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是 ．





17．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是 ．





18．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为 ．





三．解答题


19．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．


（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；


（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；


（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．





20．设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．


（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．


（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．


（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．





21．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．


（1）求二次函数与一次函数的解析式；


（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．








22．我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．


第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．


第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，


所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0


第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：


取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以


（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．


（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．
























































参考答案


一．选择题


1．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，


∴，


解得b＜1且b≠0．


故选：A．


2．解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，


∴﹣＝2，


解得：b＝﹣4，


∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，


解得x1＝﹣1，x2＝5，


故选：D．


3．解：∵b＞a＞0


∴﹣＜0，


所以①正确；


∵抛物线与x轴最多有一个交点，


∴b2﹣4ac≤0，


∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，


所以②正确；


∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，


∴x取任何值时，y≥0


∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；


所以③正确；


当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0，a+b+c≥3b﹣3a，a+b+c≥3（b﹣a），≥3


所以④正确．


故选：D．


4．解：如图


由图象可以看出二次函数y＝ax2+bx+c在区间（2.0，2.2）上可能与x轴有交点，即2.0＜x1＜2.2．


∴故选C．





5．解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．


ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．


故选：C．


6．解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．


所以解的整数部分是1，十分位是1．


故选：C．


7．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，





当x＝1时，y＝3，


当x＝5时，y＝﹣5，


由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，


直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，


∴﹣5＜t≤4．


故选：D．


8．解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，


∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，


∴M＝2，


∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，


∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；


当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；


综上可知，M＝N或M＝N+1．


故选：C．


另一解法：∵a≠b，


∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，


∴M＝2，


又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，


而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，


∴N≤2，


∴N≤M，


∴不可能有M＝N﹣1，


故排除A、B、D，


故选：C．


9．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，


解得b＝﹣2，


所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，


y＝（x﹣1）2﹣1，


x＝1时，y＝﹣1，


x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，


∵x2+bx﹣t＝0的解相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，


∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．


故选：C．


10．解：由图形可以看出：抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1＝kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，


当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．


故选：A．


11．解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，


∴c＞0，


∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，


∴b＝﹣2a，


∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；


∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，


而抛物线的对称轴为直线x＝1，


∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，


∴当x＝﹣1时，y＜0，


∴a﹣b+c＜0，所以②正确；


∵x＝1时，二次函数有最大值，


∴ax2+bx+c≤a+b+c，


∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；


∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，


∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，


即9a+3b+c＜﹣3+c，


而b＝﹣2a，


∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．


故选：A．


二．填空题


12．解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．


∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，


∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．


①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；


②当k≠0时，△＝4+4k＝0，


解得，k＝﹣1．


综上所述，k＝0或﹣1．


故答案为：0或﹣1．


13．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．


（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，


于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，


解得，（m﹣）2＜，


解得m＜或m＞．


将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．


（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，


这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，


解得：m＝．


故答案为：1或0或．


14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根


∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，


解得：a＞


设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，


∵实数根都在﹣1和0之间，


∴﹣1，


∴a，


且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，


即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，


解得：a＜﹣2，


∴＜a＜﹣2，


故答案为：＜a＜﹣2．





15．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．


故答案为：6.18＜x＜6.19．


16．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，


∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．


故答案为：x＜﹣1或x＞4．


17．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；


②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；


③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；


④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；


⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；


故答案是：4





18．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，


所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．


故答案为：x2＜x＜x3．


三．解答题


19．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，


②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，


∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；





（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，


解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，


∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，


∴k＝1．


∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，





由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．





（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，


则，


解得或．


所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．


20．解：（1）设y＝0


∴0＝ax2+bx﹣（a+b）


∵△＝b2﹣4•a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0


∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．


∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个


（2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0


∴抛物线不经过点C


把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得





解得


∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1


（3）当x＝2时


m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0①


∵a+b＜0


∴﹣a﹣b＞0②


①②相加得：


2a＞0


∴a＞0


21．解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），


∴0＝1+m，


∴m＝﹣1，


∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，


∴点C坐标（0，3），


∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，


∴点B坐标（﹣4，3），


∵y＝kx+b经过点A、B，


∴，解得，


∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，


（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．





22．解：（1）因为当x＝2时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝1＞0，


所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；


（2）取x＝＝2.5，因为当x＝2.5时，y＜0．又因为当x＝3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，


取x＝＝2.75，因为当x＝2.75时，y＞0．又因为当x＝2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，


因为2.75﹣2.5＝．


取x＝＝2.625，因为当x＝2.625时，y＜0．又因为当x＝2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，


因为2.75﹣2.625＝＜，


所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围





x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
﹣0.80
﹣0.54
﹣0.20
0.22
0.72
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
﹣1.59
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2+px+q
﹣15
﹣8.75
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04