初二数学上册秋季班培优讲义 第16讲 乘法公式（三）

乘法公式（三）

  模块一  知二推二的应用

   模块二  配方法

  模块三  配方法的基本应用

一、知二推二的应用

二、配方法

1．配方法的步骤：

①首先按某个字母的降幂排列——“化成一般式”．

②分清二次项与一次项，把二次项系数化为1——“提系数”．

③加上一次项系数一半的平方，再减去所加的数——“加上一次项系数一半的平方”．

2．配方法的基本应用：

①求最值；

②非负性解不定方程．

（1）已知，则________．

（2）若，则________．

【解析】（1），

，

;

（2）

，

所以，．

【提示】整体思想用于计算．

若，，求的值．

【解析】由平方得   ②；

又已知，      ③

③②得．所以x，y中至少有一个为0，但．

因此x，y中只能有一个为0，另一个为2或．

无论哪种情况，都有．

【提示】分类讨论思想．

（1）完成下列配方

①           ②

③           ④

⑤           ⑥

⑦          ⑧

通过这道题，你得到的结论是：

（2）完成下列配方

①        ②

③       ④

⑤       ⑥

⑦     ⑧

通过这道题，你得到的结论是：

【解析】（1）①4，；②25，；③，；④，；⑤，；

⑥，；⑦，；⑧，．

结论：，；，．

（2）①2，2，；②18，2，；③，3，；④，3，；

⑤，，；⑥，，；⑦，，；

⑧，，；

结论：，，，，；，，，，．

【提示】归纳总结总结：

（1）二次项系数为1，配一次项系数一半的平方；

（2）二次项系数不为1时，提二次项系数．

（1）的最小值是_________，的最大值是_________．

（2）求最值并求出取最值时各未知数的取值：

①     ②    ③

④     ⑤   ⑥

【解析】（1）5，．

（2）①原式，当时，取最小值为；

②原式，当，时取最小值；

③原式，当时，取最大值26；

④原式，当时，取最大值．

⑤原式，当时，有最小值5；

⑥原式，当时，有最大值．

【提示】配方法的应用——求最值，需要大量练习．

（1）若，则_______，_______．

（2）若，则_________，_________．

（3）已知，求．

（4）已知，求的值．

【解析】（1）5，；；

（2），

，．

（3），

，．

（1）已知，则_________，_________．

（2）已知，则_________．

（3）已知，那么___________．

【解析】（1），．

（2），

，，

（3）

【提示】非负性解不定方程变形，根据平方项拆中间项，或者根据中间项拆平方项．

（1）的最小值是__________．

（2）已知，求ab．

【解析】（1）原式

∴当时，原式有最小值1．

（2），，

，，

， 

，，．

若，求和ab的最值．

【解析】法一：由题意知，，

，

．

法二：，

．

【提示】利用知二推二求最值．

（1）若n满足，则__________．

（2）已知，则________．

【解析】（1）令，，则、，

∴．

（2）89．

求最值：（1）                   （2）

（3）                     （4）

【解析】（1）最小值；（2）最大值8；（3）最小值；（4）最大值15．

（1）若，则_________，_________．

（2）已知，则__________．

【解析】（1）4，．

（2）∵，

∴，

故，，，．

（1）已知，则_______________．

（2）已知，则___________．

（3）已知，求．

【解析】（1）

，，，．

（2），

，

，

，

；

（3）∵，

∴，

∴，即，

∴，，

∴．

求的最小值，并写出取得最小值时x、y的取值．

【解析】9，此时，．

若，求和ab的最值．

【解析】法一：，

．

法二：由题意知，，

．